1、2022年全国高中数学联赛模拟试卷一、选择题1若x1，x2是方程2x24x10的两个根，则的值为（）A6B4C3D2把直线向左平移个单位后，再向下平移个单位，所得的直线方程为（）ABCD3用一个平面去截一个正四面体，截面不可能为（）A内角均不为90的菱形B平行四边形C等腰三角形D钝角三角形4在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（）ABCD5已知正整数，满足，则的值有可能等于（）A101B301C401D以上三个都不对6甲和乙是同班同学，该班级共52名同学一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个
2、问题的答案）对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）A5B6C7D8二、填空题7设，则的最小值为_.8已知在中，对任意的恒成立，且为内切圆上的点，则的取值范围是_9甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_；事件B与事件相互独立；，是两两互斥的事件10已知复数满足方程：，则_11在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为
3、坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_.12设，为曲线上个点，其横坐标为，若正常数使得存在，则常数的最小值为_.三、解答题13已知关于的方程在复数范围内的两根为、（1）若p=8，求、；（2）若，求的值14数列满足且证明：其中无理数15在中，三内角A、B、C满足，求的最小值16如图，已知等腰三角形中，M为的中点D为线段上一点，E、F分别为上的点，且四边形为平行四边形.交于点P，的延长线交的延长线于点Q，的外接圆交的外接圆于A、K两点求证：K、Q、P、O四点共圆17设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球现将这些袋子混合后
4、，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；（2）若，求第三次取出为白球的概率；（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率18已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.2022年全国高中数学联赛模拟试卷-（一）参考答案123456ACACBA7 8910311或1213 13（1），；（2）【详解】（1）由题意得，（2）已知关于x的方程的一根为，所以，所以，解得14证明证法一：由递推关系有.故两边取对数并利用已知不等式得：故有，将上述不等式两边相加可得即，故证法二：
5、由数学归纳法易证对成立，故令，则对上述不等式两边取对数并利用已知不等式得：故，将上述不等式两边相加可得：因故故，又显然，故对一切成立15由，得：，所以由正余弦定理，得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16【详解】因为，所以，所以，所以A、E、F、O四点共圆，记该圆为又，故有P在圆上，同理Q也在上的外接圆圆心N为的中点，即的中点又，故有，所以O、N与的圆心共线所以三圆关于直线对称，故K也在上所以K、Q、P、O四点共圆17（1）；（2）；（3）解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，第三次取出为白球
6、的概率（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：18证明:考虑满足且的所有有序数对构成的集合.要证结论等价于：“存在且.”对任意整数，定义映射.引理：是双射.设，即.再由，得.由题设中唯一性得，所以是单射.是有限集，所以是双射.引理得证.对任何固定的，令，由引理，存在唯一的使得，因此.另一方面，任取，设中包含个，任意交换的顺序，得到的有序数对（共个）仍然是的元素，所以是一些类型的整数之和.不是101的倍数，而为质数，所以存在某个使得不是101的倍数，即中有一个为101，其余为0，即.至此，结论得证，从而题中结论成立.
