1、章末综合测评(二)平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线l与直线y1，x7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()ABC3 D3B设P(a,1)，Q(7，b)，则有故直线l的斜率为2若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y50垂直，则实数a的值是()A B1C D2A直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y50垂直，则a12(a1)0，解得a3若方程x2y2xy2m0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A BC DC根据题意，方程x2y2xy2m0表示一个圆，则有11
2、4(2m)0，解的m，即m的取值范围为4过点A(1,0)的直线l与圆(x1)2(y1)21相交于A，B两点，若|AB|，则该直线的斜率为()A1 BC D2A设直线l方程为yk(x1)，则圆心到直线l的距离为，则弦|AB|2，解得k15已知点P为双曲线1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为PF1F2的内心若SPMF1SPMF28，则MF1F2的面积为()A2 B10C8 D6B由题意知，a4，b3，c5又由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a8设PF1F2的内切圆的半径为RSPMF1SPMF28，(|PF1|PF2|)R8，即4R8，R2，SMF1F22cR10故选B6焦点
3、为(0，3)，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是()A1 B1C1 D1B双曲线y21中，a22，b21，所以渐近线方程为yx，所以所求双曲线的方程中，c3，a2b2c2，所以a23，b26，则双曲线方程为1，故选B7若圆C1：(x1)2(y1)21与圆C2：(x2)2(y3)2r2外切，则正数r的值是()A2 B3C4 D6C圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2：(x2)2(y3)2r2，C1坐标为(1,1)，半径为1，C2坐标为(2，3)，半径为r，|C1C2|r1r2r1r48已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A
4、为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ()A B2C2 DD设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即c2(96)a2，即c()a，即e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点
5、P使|PM|4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是()Ayx1 By2Cyx Dy2x1BC对于A，d134；对于B，d224，所以符合条件的有BC10实数x，y满足x2y22x0，则下列关于的判断正确的是()A的最大值为B的最小值为C的最大值为D的最小值为CD由题意可得方程x2y22x0为圆心是C(1,0)，半径为1的圆，由为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值，设过P(1,0)点的直线为yk(x1)，即kxyk0，圆心到直线的距离dr，即1，整理可得3k21，解得k，所以，即的最大值为，最小值为11已知点A是直线l：xy100上一定点，点P，Q是圆C：(x4)2(y2
6、)24上的动点，若PAQ的最大值为60，则点A的坐标可以是()A(4,6) B(2,8)C(6,4) D(8,2)AD点A是直线l：xy100上一定点，点P，Q是圆C：(x4)2(y2)24上的动点，如图：圆的半径为2，所以直线l上的A点到圆心的距离为4，结合图形，可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意12已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有()A渐近线方程为yxB渐近线方程为yxCMAN60DMAN120BC由题意可得e，可设c2t，at，t0，则bt，A(t,0)，圆A的圆心为(t,0)，半径r
7、为t，双曲线的渐近线方程为yx，即yx，圆心A到渐近线的距离为dt，弦长|MN|22tb，可得三角形MNA为等边三角形，即有MAN60三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程为x2y21，则实数a的值为 2圆的方程可化为(y1)2，表示以A为圆心，以为半径的圆，关于直线xy1对称的圆x2y21的圆心为(0,0)，故有11，得a214已知直线l与直线y1，xy70分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，1)，那么直线l的斜率为 设P(a,1)，Q(b，b7)，由PQ中点坐标为(1，1)得解得a2，b4P(2,
8、1)，Q(4，3)直线l的斜率为15已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为 1由椭圆的定义，可知AF1B的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a4，解得a又离心率，所以c1由a2b2c2，得b，所以椭圆C的方程为116双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则双曲线方程为 ，离心率为 (本题第一空2分，第二空3分)1双曲线1的渐近线方程为yx，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性
9、可知1，又正方形OABC的边长为2，所以c2，由a2b2c2可得2a2(2)2，解得a2b2，双曲线方程为1，离心率为e四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程解若l在两坐标轴上截距为0，设l：ykx，即kxy0，则3解得k6此时l的方程为yx；若l在两坐标轴上截距不为0，设l：1，即xya0，则3解得a1或13此时l的方程为xy10或xy130综上，直线l的方程为yx或xy10或xy13018(本小题满分12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4，0)，与
10、y轴相交于点B(0,2)(1)求圆C的标准方程(2)直线l过点B与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式解(1)设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2，分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)，得解得则圆C的标准方程为(x2)2(y1)25(2)由(1)得圆心C(2,1)，半径r，由于直线l过点B与圆C相切，则设直线l：x0或ykx2，当直线l：x0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；当直线l：ykx2时，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离dr，即有，解得k2，故直线l：y2x2，即2xy2019(本小题满分12分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，点P到椭圆上的点的最远
11、距离是，求这个椭圆的方程解设所求椭圆的方程为1(ab0)，a2b，椭圆的方程为1设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，则d2x24b2y23y34b23，byb记f(y)34b23，byb当b，即b时，df4b237，b1，椭圆的方程为y21；当b，即0b0)由消去y，得x22(1p)x10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(1p)，x1x21|AB|，即，121p2242p480，解得p或p(舍去)，抛物线的方程为y2x(2)设AB的中点为点D，则D假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，连接CDABC为正三角形，CDAB，即(1)1，解得x0，C，|CD|又|CD|A
12、B|，矛盾，不符合题目条件，在x轴上不存在一点C，使ABC为正三角形21(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切(1)求圆的方程；(2)若直线axy50(a0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解(1)设圆心坐标为M(m,0)(mZ)，由于圆与直线4x3y290相切，且圆的半径为5，所以5，即|4m29|25，即4m2925或4m2925，解得m或m1因为m为整数，故m1，故所求的圆的方程为(x1)2y225(2)设符合条件的实数a存在，因为a0
13、，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y(x2)4，即xay24a0由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在直线l上，所以1024a0，解得a经检验，当a时，直线axy50与圆有两个交点，故存在实数a，使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB22(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l与抛物线x24y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4(1)若直线l过(0,4)，证明：OAOB；(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关证明(1)设直线方程为ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x4y1，x4y2，两式相乘可得(x1x2)216y1y2，由可得x24kx160，则x1x216，y1y216，x1x2y1y20，即0，OAOB.(2)设直线ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，可得x24kx4m0，x1x24k，x1x24m，k1k2k，联立ykxm和椭圆2x23y212，可得(23k2)x26kmx3m2120，36k2m24(23k2)(3m212)0，即46k2m2，x3x4，x3x4，k3k42km2k2k，则与直线l的斜率的大小无关
