1、向量的数量积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为135,则a(-b)等于()A.12B.-12C.12D.-12【解析】选C.因为a(-b)=-ab=-|a|b|cos 135=-46=12.【补偿训练】1.在ABC中,BC=5,AC=8,C=60,则=()A.20 B.-20 C.20 D.-20【解析】选B.=|cos 120=58=-20.2.已知ABC中,=a,=b,若ab0,则ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形【解析】选A.由ab0
2、易知向量a与b的夹角为钝角.2.(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a与b的夹角为.3.已知平面向量a,b满足a(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选C.因为a(a+b)=a2+ab=4+2cos=3,所以cos=-,又因为0,所以=.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6
3、C.3D.-3【解析】选B.因为cd=0,所以(2a+3b)(ka-4b)=0,所以2ka2-8ab+3kab -12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.如图所示,ABC是顶角为120的等腰三角形,且AB=1,则等于()A.-B.C.-D.【解析】选C.因为ABC是顶角为120的等腰三角形,且AB=1,所以BC=,所以=1cos 150=-.6.(多选题)已知a,b,c为非零向量,下列说法不正确的是()A.若|ab|=|a|b|,则abB.若ac=bc,则a=bC.若|a|=|b|,则|ac|=|bc|D.(ab)|c|=|a|(bc)【解析】选BCD.|ab|=|a|b|cos |=|
4、a|b|,所以cos =1,即=0或180,此时ab;A正确;选项B中,设a与c的夹角为1,b与c的夹角为2,因为ac=bc,所以|a|c|cos 1=|b|c|cos 2,即|a|cos 1=|b|cos 2,B不一定正确;C项中,a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,结论不成立;D项中,a与b的夹角,b与c的夹角不一定相等,所以不一定成立.【补偿训练】对于向量a、b、c和实数,下列命题中真命题是()A.若ab=0,则a=0或b=0B.若a=0,则=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若ab=ac,则b=c【解析】选B.A中,若ab=0,则a=0或b=0或ab,故A错;C中,若a
5、2=b2,则|a|=|b|,C错;D中,若ab=ac,则可能有ab,ac,但bc,故只有选项B正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019天津高考)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=_.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为ADBC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为BAD=30,AB=2,所以AF=2,即=.因为=-=-,所以=(-)=-=25-12-10=-1.答案:-18.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,
6、则ab= _;若ab=0,则实数k的值为_.【解析】当k=1时ab=(e1-2e2)(e1+e2)=-e1e2-2=-.由ab=0得(e1-2e2)(ke1+e2)=0.整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知:如图,两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:(1)|+|的值.(2)的值.【解析】(1)因为和的长度为1,夹角为,所以=|cos =-,所以|+|=1.(2)因为点C是以O为圆心的劣弧的中点,所以AOC=BOC=,所以=,所以=(-)(-)=-+=-+1=.【补偿训练】已知|a|=10,|
7、b|=12,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)(3a);(3)(3b-2a)(4a+b).【解析】(1)ab=|a|b|cos =1012cos 120=-60.(2)(3a)=(ab)=(-60)=-36.(3)(3b-2a)(4a+b)=12ba+3b2-8a2-2ab=10ab+3|b|2-8|a|2=10(-60)+3122-8102=-968.10.已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量为-e.(1)求a与b的夹角;(2)求(a-2b)b;(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?【解析】(1)由题意知|a|=2,|
8、b|=1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos e=-e,所以cos =-,又0,所以=.(2)易知ab=|a|b|cos =-1,则(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b与a-3b互相垂直,所以(a+b)(a-3b)=a2-3ab+ba-3b2=4+3-1-3=7-4=0,所以=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在ABC中,若=+,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.因为=+,所以-=+,所以(-)=(-),所以=,所以(+)=0,所以
9、=0,所以ACBC,所以ABC是直角三角形.2.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则(+)等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.因为AM=1,且=2,所以|=.如图(+)=(2)=.【补偿训练】在ABC中,C=90,CB=3,点M满足=2,则=_.【解析】因为=+=+=+(-)=+,又C=90,=0,所以=3.答案:33.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a-b与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得ab=0,由|a-b|=2|a|可得3a2=b2,所以|b|=|a|,设向量a-b与b的夹角为,则cos =-,又0,所以
10、=.4.(多选题)已知向量a,b的夹角为120,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的值可以为()A.1B.C.D.【解析】选AD.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60.又,故|a-c|min=.由选项可知|a-c|的值可以为1或.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(2019全国卷)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9,所以|c|=3,因为ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos=.答案:【补偿训练】设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=_.
11、【解析】因为|a+b|=,所以(a+b)2=10,即a2+b2+2ab=10.因为|a-b|=,所以(a-b)2=6,即a2+b2-2ab=6.由可得ab=1.答案:16.已知ab,|a|=2,|b|=1,且3a+2b与a-b垂直,则等于_.【解析】因为(3a+2b)(a-b),所以(a-b)(3a+2b)=0,所以3a2+(2-3)ab-2b2=0.又因为|a|=2,|b|=1,ab,所以12+(2-3)21cos 90-2=0,所以12-2=0,所以=.答案:7.在ABC中,BAC=120,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2,则= _.【解析】因为=2,所以=,=-,故=(+)=(
12、-)=(-)=+-=|cos 120+|2-|2=21+1-22=-.答案:-8.已知向量a、b满足:|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为_;|2a-b|=_.【解析】由于a(b-a)=ab-a2=ab-1=2,则ab=3.设a与b的夹角为,则cos =,又0,所以=.因为|2a-b|2=4a2-4ab+b2=28,所以|2a-b|=2.答案:2【补偿训练】已知非零向量a,b,满足ab,且a+2b与a-2b的夹角为120,则=_.【解析】(a+2b)(a-2b)=a2-4b2,因为ab,所以所以所以=.所以=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知e1与e2是
13、两个互相垂直的单位向量,k为何值时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角?【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1e2=2k0,所以k0.但当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上可知,k(0,1)(1,+)时,向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角.10.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120.(1)求证:(a-b)c;(2)若|ka+b+c|1(kR),求k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1且a,b,c之间的夹角均为12
14、0,所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0,所以(a-b)c.(2)因为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c)(ka+b+c)1,即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.因为ac=ab=bc=cos 120=-,所以k2-2k0,解得k2.即k的取值范围是k2.11.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.(1)若四边形ABCD是矩形,求的值;(2)若四边形ABCD是平行四边形,且=6,求与夹角的余弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,所以=0,由=2,得=,=-.所以=(+)(+)=-=36-81=18.(2)由题意,=+=+=+,=+=+=-,所以=-=36-18=18-.又=6,所以18-=6,所以=36.设与的夹角为,又=|cos =96cos =54cos ,所以54cos =36,即cos =.所以与夹角的余弦值为.
