1、压轴题(六)第二部分刷题型12将三个边长为 2 的正方形，按如图所示的方式剪成 6 部分，拼接成如图所示的形状，再折成一个封闭的多面体，则该多面体的体积为()A4 B2 6 C.7 33 D.5 63 答案 A 解析 该多面体是一个大的四面体减去三个小的四面体，其中大四面体的底面是边长为 3 2的正三角形，其余三条棱长均为 3；三个小四面体的底面是边长为 2的正三角形，其余三条棱长均为 1，所以 V133123331311211 4.故选 A.16(2019杭州摸底考试)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的方程是 2 2xy0，则双曲线 E 的离心率 e_；若双曲线
2、E的实轴长为 2，过双曲线 E 的右焦点 F 可作两条直线与圆 C：x2y22x4ym0 相切，则实数 m 的取值范围是_ 答案 3(3,5)解析 因为双曲线 E 的一条渐近线的方程是 2 2xy0，所以ba2 2，所以 ecaa2b2a21b2a212 223.又双曲线 E 的实轴长为2，所以 2a2，即 a1，所以 c3，F(3,0)由题意得右焦点 F 在圆 C 外，所以需满足条件32022340m0，x12y225m0，解得3mb0)经过点 P3，12，左焦点为 F(3，0)(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 A 是椭圆 E 的右顶点，过点 F 且斜率为12的直线交椭圆 E 于 M，N两
3、点，求AMN 的面积 解(1)由题意得椭圆 E 的右焦点为(3，0)，c 3，则由椭圆的定义得，3 3214122a，解得 a2.又 c 3，b2a2c21，椭圆 E 的方程为x24y21.(2)过 F(3，0)且斜率为12的直线的方程为 y12(x 3)，联立，得y12x 3，x24y21，消去 x，得 8y24 3y10，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2 32，y1y218，|y1y2|52，A 是椭圆 E 的右顶点，|AF|2 3，AMN 的面积 S12|AF|y1y2|12(2 3)52 2 5 154.21(2019湘赣十四校联考二)已知函数 f(x)2a11x l
4、n x1，aR.(1)若直线 l 与曲线 yf(x)恒相切于同一定点，求直线 l 的方程；(2)若当 x1 时，f(x)ex1x 恒成立，求实数 a 的取值范围 解(1)因为直线 l 与曲线 yf(x)恒相切于同一定点，所以曲线 yf(x)必恒过定点，由 f(x)2a11x ln x1，aR，令11x ln x0，得 x1，故得曲线 yf(x)恒过的定点为(1,1)因为 f(x)2aln xx2 1x1x2，所以切线 l 的斜率 kf(1)0，故切线 l 的方程为 y1.(2)因为当 x1 时，f(x)ex1x 恒成立，所以 exf(x)ex 恒成立，即 exe2a(x1)ln xx0 在1，
5、)上恒成立 令 g(x)exe2a(x1)ln xx，则 g(x)exe2aln x11x 1，令 h(x)g(x)exe2aln x11x 1，则 h(x)ex2ae1x1x2(x1)当 a0 时，显然 h(x)0，所以 h(x)在1，)上单调递增，故 h(x)g(x)h(1)0，所以 g(x)在1，)上单调递增，故 g(x)g(1)0.从而，当 x1 时，f(x)ex1x 恒成立 当 0a14时，令 t(x)h(x)ex2ae1x1x2(x1)，则 t(x)ex2ae1x22x3 0，所以 t(x)在1，)上单调递增，故 t(x)h(x)t(1)e(14a)0，同可证，当 x1 时，f(x)ex1x 恒成立 当 a14，即 4a1 时，由可知 t(x)在1，)上单调递增，因为 t(1)e(14a)0，又 t(4a)e4a2ae14a 116a2 e4a2ae14a 14a e4ae0，故必存在 x0(1,4a)使在1，x0)上 t(x)0，即 h(x)0，因此 h(x)在1，x0)上单调递减，所以 x(1，x0)时，h(x)h(1)0，即 g(x)0，所以 g(x)在(1，x0)上单调递减，g(x)g(1)0，即 exe2a(x1)ln xx0，即 f(x)ex1x，因此 f(x)ex1x在 x(1，x0)上不恒成立 综上可得，实数 a 的取值范围为 a14.本课结束
