1、参数方程考试要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程1曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直
2、线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦M1M2的中点t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,
3、1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上B由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上2直线(t为参数)和圆x2y216交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为()A(3，3)B(，3)C(，3) D(3，)D将直线方程代入圆的方程，得2216，整理，得t28t120，则t1t28，4，故其中点坐标满足解
4、得3曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_y22x2(1x1)由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)4在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则a_.3直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3. 考点一参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21
5、等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)；(3)(t为参数)解(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1；当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中或(2)y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin21，0x21，2x3，所求的普通方程为2xy40(2x3)(3)因为x，y4343x.又x20,2)，所以所求的普通方程为3xy40(x0,2)2(2020全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标
6、原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos 16sin 30.(1)当k1时，C1是什么曲线？(2)当k4时，求C1与C2的公共点的直角坐标解(1)当k1时，C1：消去参数t得x2y21，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆(2)当k4时，C1：消去参数t得C1的普通方程为1.C2的直角坐标方程为4x16y30.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围 考点二参数方程的应用 1.直线的参数方程中t的几何意义经过点
7、P0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t的几何意义是：|t|表示以点P0(x0，y0)为起点，P(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|.当t0时，的方向向上；当t0时，的方向向下；当t0时，点P与点P0重合2直线的参数方程中t的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上的两点，对应的参数分别为tA，tB，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为tM，则有(1)tM；(2)|AB|tAtB|；(3)|PA|PB|tA|tB|；(4)|PM|tM|；(5)若定点P是线段AB的中点，则tAtB0；(6)|PA|PB|tA|tB
8、|.解决此类题的关键如下：统一，将曲线的方程统一为直角坐标系下的方程或者极坐标系下的方程；联立，联立直线的参数方程和曲线的普通方程；求值，根据t的几何意义求解典例1(1)(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.求C和l的直角坐标方程；求C上的点到l距离的最小值(2)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点求的取值范围；求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21
9、(x1)l的直角坐标方程为2xy110.由可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.(2)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.点评：(1)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后
10、才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值1(2020广州市调研检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值解(1)因为所以所以x2y24.所以曲线C的普通方程为x2y24.因为cos x，sin y，所以yx0.所以直线l的直角坐标方程为xy0.(2)法一：由，不妨
11、取A，B.因为点P(0,1)，所以|PA|1，|PB|1.所以.法二：因为点P(0,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为(t为参数)，设A，B对应的参数分别为t1，t2，将代入x2y24，得t22t100，(2)241(10)440，所以t1t22，t1t2100.因为|PA|t1|，|PB|t2|，所以，所以.2(2020江西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|OB|2，求.解(1)由曲线C的参数
12、方程可得普通方程为(x4)2y29，即x2y28x70，又x2y22，xcos ，所以曲线C的极坐标方程为28cos 70.(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为(R)，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(1，)，B(2，)，联立得，可得28cos 70，因为64cos2280，所以cos2，128cos ，127，所以|OA|OB|12|2，解得cos ，所以或. 考点三极坐标、参数方程的综合应用 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)
13、数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 典例2(1)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：2cos .求C2与C3交点的直角坐标；若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值(2)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.写出C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )
14、0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.曲线C1的极坐标为方程(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)，所以|AB|2sin 2cos |4.当时，AB取得最大值，最大值为4.(2)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得c
15、os sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.点评：(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题1(2020郑州市第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中 ，已知曲线E经过点P，其参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线l交曲线E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定
16、值解(1)将点P代入曲线E的参数方程，得，解得a24，所以曲线E的普通方程为1，极坐标方程为21.(2)不妨设A(1，)，B，10，20，则，即，即，为定值2(2020长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.(1)求出曲线C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin3，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值解(1)分别消去l1，l2的参数方程中的参数，得l1，l2的普通方程为l1：yk(x)，l2：y(x)，两式相乘消去k可得y21，因为k0，所以y0，所以曲线C1的普通方程为y21(y0)(2)因为sin3，所以sin cos 6，将xcos ，ysin 代入上式，得直线C2的直角坐标方程为xy60.结合(1)知曲线C1与直线C2无公共点曲线C1的参数方程为(为参数，k，kZ)，所以曲线C1上的点Q(cos ，sin )到直线xy60的距离d，所以当sin1时，d取得最大值，为4.
