1、北京京市密云区2019-2020第一学期期末试题高三数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的并运算，即可容易求得.【详解】因为，故可得.故选：C.【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题.2.双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方程求得，即可由离心率计算公式求得结果.【详解】因为双曲线的方程是，故可得，故离心率.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.3.若函数满足：对任意正整数，都有，且函数
2、的图象经过点，则在下列选项中，函数通过的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数经过的点，以及，即可容易递推得到结果.【详解】因为过点，且，故可得，故过点.故选：B【点睛】本题考查函数值的求解，属基础题.4.若函数（）的相邻两个极小值点之间的距离为，最大值与最小值之差为2，且为奇函数，则函数的值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解析式，再求函数值即可.【详解】因为相邻两个极小值点之间的距离为，故可得，则；又因为最大值与最小值之差为2，故可得，则；又因为是奇函数，故可得；故.故选：C.
3、【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求解析式，属综合基础题.5.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断【详解】因为，故可得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题.6.下列函数中，既是偶函数，又是上的增函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断.【详解】对，其定义域为，不关于原点对称，故其不是偶函数，故错误；对，其在是减函数，故错误；对
4、，其是偶函数，且在上为增函数，故正确；对，其是奇函数，故错误.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，属综合基础题.7.如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算，即可容易判断.【详解】根据数量积的定义，元素的个数取决于在向量方向的投影的结果的个数.结合已知条件，由图可知：与，与，与在向量方向的投影相同，故集合中有3个元素.故选：A.【点睛】本题考查数量积的定义，属基础题.8.阶段测试后
5、，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有种，再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有种.故选：B.【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.9.已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将问题转化为方程有根的问题，进而根据二次方程根的分布即可求解.【详解】根据题意，不妨设，则问题转化为方程
6、有正根，则只需且，解得.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，属中档题；其中问题的转化是关键.10.设非零向量的夹角为，定义运算“*”：下列命题若，则/；设中，则；（为任意非零向量）；若，则.其中正确命题的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】，解得或，故/，则正确；由的定义可知，其结果表示以为一组邻边的平行四边形的面积，故，则正确；不妨取，故可得，而，显然不相等，故错误；若，则，故正确.故选：D.【点睛】本题考查向量新定义问题，属中档题.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.复数对应
7、点在第_象限，复数的实部是_【答案】 (1). 四 (2). 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，再求对应点的坐标，以及实部即可.【详解】因为，故其对应的点为位于第四象限，其实部为.故答案为：四；.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.12.抛物线的焦点坐标是_，准线方程是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标为，准线方程为，可得本题答案.【详解】因为抛物线的标准方程为，得，所以其焦点左边为，准线方程为.故答案为：；【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标和准线方程，属于基础题.13.若数列是由正数组成的等比数列，且，则公比_，其前项和=
8、_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据等比数列的基本量求得公比和前项和即可.【详解】因为是等比数列，且各项均为正数，故；又，故可得.故答案为：；.【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，涉及前项和的求解，属基础题.14.在中，分别是角的对边，且，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据余弦定理求得；再根据正弦定理求得即可.【详解】因为，故可得；根据正弦定理可得，又因为则，故可得. 故答案为：；.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题.15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_【答案】2【解析】【分析】根据三视图还原几何体，再利用
9、棱锥的体积公式即可求得.【详解】根据三视图还原几何体如下所示：则容易知，.故答案为：2.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张，并且每天购物只能用一张优惠券一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是_元
10、【答案】201【解析】【分析】根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得.【详解】设标价为，则当时，优惠金额；当时，优惠券2的优惠金额，优惠券3的优惠金额.故当标价在之间，只能用优惠券1，故不满足题意；当标价超过100时，若满足题意，且，解得.则答案不唯一，只需在区间内任取一个元素即可.本题中选取标价为.故答案为：.【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题.三、解答题: 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17.已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，角的终边与角的终边关于直线对称（）若为第三象限角，点的纵坐标为，（i）求和的值；（ii）求的值（）
11、求函数的最小值.【答案】（）（i），.（ii）（）【解析】【分析】（）（i）根据三角函数的定义，以及同角三角函数关系，即可容易求得；（ii）由角度终边的对称性，求得，再用正弦的和角公式即可求得；（）利用余弦的倍角公式，将函数转化为关于的二次函数，求其值域即可.【详解】（）（i）因为角的终边与单位圆交于点，的纵坐标为，所以，又因为为第三象限角，所以 因此. （ii）因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以，. .（）.由， 所以当时，有最小值.【点睛】本题考查三角函数的定义，同角三角函数关系，诱导公式，以及二次型三角函数的最值，属综合基础题.18.甲、乙两位运动员一起参加赛前培训现分别从他们在培
12、训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：86 85 79 86 84 84 85 91（）请你运用茎叶图表示这两组数据；（）若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于85分的次数为，求的分布列及数学期望；（）现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由【答案】（）茎叶图见解析（）分布列见解析，（）派乙比较合适，理由见解析【解析】【分析】（）根据茎叶图的绘制方法，结合数据绘制即可；（）先计算高于分的概率，再求得的取值，由二
13、项分布的概率求解即可求得其分布列；（）求出两组数据的平均数和方差，据此判断即可.【详解】（）作出茎叶图如下：（）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于85分”为事件A， 随机变量的可能取值为0，1，2，3，且所以，所以变量的分布列为0123P（）派乙参赛比较合适理由如下：， ，因为 ，说明乙的成绩较稳定，更容易发挥队员水平，所以派乙参赛比较合适【点睛】本题考查茎叶图的绘制，以及平均数和方差的计算，以及二项分布的分布列求解，属综合中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为线段的中点. （）求直线与平面所成角的余弦值；（）求二面角的大小；（）若在段上，且直线与平面相交，求的取值范围.【答案】（
14、）（）（）【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系：（）求得直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角求得线面角的夹角；（）求出平面的法向量，利用向量法求二面角的大小；（）设出点坐标，根据的方向向量和法向量不垂直，即可求得范围.【详解】（） 因为，所以；又因为，所以，因此.以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以，.设平面的法向量，由得： 令，则 设直线与平面所成角为，则有=所以 即：直线与平面所成角的余弦值为. （）同理可得：平面的法向量， 则有 因为二面角平面角为钝角，所以二面角的大小为. （）设，由得：.则， 又因为直线与平面相交，所以.即: , 解得： 所以的取值
15、范围是.【点睛】本题考查利用向量法求线面角，二面角，以及由线面不平行推证线段比例关系，属综合中档题.20.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：函数在区间上存在唯一的极大值点；（）证明：函数有且仅有一个零点.【答案】（）（）证明见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）求导，从而解得切线的切率，根据点斜式即可求得结果；（）根据的单调性，即可容易求证；（）根据的正负，判断函数的单调性，即可容易证明.【详解】（）因为，所以，又因为， 所以切线方程为，即：. （）证明：因为和在上单调递减，所以在上单调递减， 且又， 所以在内有且仅有一个实数，使得=0，并且当时，当时，所以在区间上有唯一的极大值
16、点. （）证明：当时，此时. 当时，此时. 当时，因为，所以在内单调递增. 因为，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点个数和零点个数，以及用导数的几何意义求切线的斜率.21.已知椭圆：的长轴长为4，离心率为直线交于点，倾斜角互补，且直线与椭圆的交点分别为（点在点的右侧）.（）求椭圆的方程；（）证明：直线的斜率为定值；（）在椭圆上是否存在一点，恰好使得四边形为平行四边形，若存在，分别指出此时点和的坐标；若不存在，简述理由.【答案】（）（）证明见解析（）存在，【解析】【分析】（）根据长轴长和离心率即可容易求得，则椭圆方程可得；（）由点在
17、椭圆上，结合的斜率互为相反数，结合韦达定理，即可容易求得两点的坐标，即可求证斜率为定值；（）根据题意，即可容易求得对应点的坐标.【详解】（）根据题意得解得 所以椭圆的方程为 （）易知点在椭圆上. 设直线 ，即 令 消去得设，则所以 因为直线和的倾斜角互补，所以直线设，同理可得 所以 即直线的斜率为定值 （）存在符合已知条件，且使得四边形为平行四边形【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的证明，属综合中档题.22.设数组，数称为数组的元素对于数组，规定：数组中所有元素的和为；变换，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；若数组，则当且仅当时，如果对数组中任意个元素，存在一种分法，
18、可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质（）已知数组，计算，并写出数组是否具有性质；（）已知数组具有性质，证明：也具有性质；（）证明：数组具有性质的充要条件是【答案】（）数组是具有性质，数组不具有性质（）证明见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）根据题意，即可容易得，则可判断；（）对都为奇数和都为偶数，结合性质的定义，即可证明；（）从充分性和必要性上，结合（）中所求，即可证明.【详解】（），； 数组是具有性质，数组不具有性质 （）证明：当元素均为奇数时，因为，所以对中任意个元素，不妨设为因为数组具有性质，所以对于，存在一种分法：将其分为两组，每组个素，使得各组内
19、所有元素之和相等如果用替换上述分法中的（），就可以得到对于的一种分法：将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等所以此时也具有性质 当元素均为偶数时，因为，所以对中任意个元素，不妨设为因为数组具有性质，所以对于，存在一种分法：将其分为两组，每组个元素，使得各组内所有元素之和相等如果用替换上述分法中的（），就可以得到对于的一种分法：将其分两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等所以此时也具有性质 综上所述，由数组具有性质可得也具有性质（）证明：（1）充分性：显然成立 （2）必要性：因为数组具有性质，所以对于数组中任意个元素，存在一种分法：将个元素平均分成2组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数，所以均为偶数，从而元素的奇偶性相同由（）可知，如果数组具有性质，那么仍具有性质又因为，当为奇数时，当且仅当时等号成立，当为偶数时，由此得到的充要条件是 易知，当且仅当时等号成立即，当且仅当时等号成立令，假设对于任意的，有，则，又，得，即得 ，所以，且单调递减又因为，矛盾所以存在，有又由结论1，得此时上述过程倒推回去，因为数组均具有性质，即数组中元素的奇偶性相同，可得数组中的所有元素都相同，所以，数组中的元素均相同，即【点睛】本题考查集合新定义问题，属综合困难题.
