1、江苏省扬州江都中学2022-2023学年度高二数学期末试卷注意事项:本试卷共150分,考试时间120分钟一、单选题1在等差数列an中,a1a3334,则a8()A5 B6 C8 D92函数的单调递减区间是()A B C D3已知是函数的极小值点,则的极小值为()AB0C1D24定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等方差数列,这个常数叫作该数列的方公差设是由正数组成的等方差数列,且方公差为4,则数列的前24项和为()AB3CD65试在抛物线上求一点,使其到焦点的距离与到的距离之和最小,则最小值为()ABCD6已知是椭圆
2、的一个焦点,若直线与椭圆相交于两点,且,则椭圆离心率的取值范围是()ABCD7函数的图象大致为()ABCD8已知是函数的导函数,且对于任意实数都有,则不等式的解集为()A B C D二、多选题9下列是递增数列的是()ABCD10已知集合,集合,且,则()A2BCD11(多选)给出定义:若函数在上可导,即存在,且导函数在上也可导,则称在上存在二阶导函数,记,若在上恒成立,则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是()ABCD12已知为椭圆:的左焦点,直线:与椭圆交于,两点,轴,垂足为,与椭圆的另一个交点为,则()A的最小值为3B面积的最大值为C直线的斜率为D为锐角三、填空题13在数列中,则的
3、值为_.14双曲线的顶点为_.15设数列的前n项和为,则下列能判断数列是等差数列的是_;16已知椭圆:与圆:,若在椭圆上存在4个点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是_.四、解答题17已知1,当k为何值时:(1)方程表示双曲线;(2)表示焦点在x轴上的椭圆;(3)表示等轴双曲线18设函数(1)求在处的切线方程;(2)求-8x3的极值点和极值19若数列满足,(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和20已知圆C经过两点,且圆心G在直线上(1)求圆G的方程;(2)已知过点的直线与圆G相交,被圆C截得的弦长为2,求直线的方程21已知,动点满足. (1)求动点的轨迹方
4、程;(2)设直线不经过点且与动点的轨迹相交于,两点.若直线与直线的斜率和为.证明:直线过定点.22已知函数,其中.(1)当时,讨论在上的单调性;(2)若对任意都有,求实数的取值范围.参考答案:1A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为a5是a1和a9的等差中项,所以2a5a1a9,即2a510,a55.故选: A2B【分析】由导数与单调性的关系求解,【详解】,则,由得,故的单调递减区间是,故选:B3A【分析】对求导,根据是的极小值点,得到,求出的值,进一步得到的极小值【详解】解:由,得,是的极小值点,经检验时,符合题意,所以,则当或时,当时,即在和上单调递增,在上单调递减,所以当时
5、函数取得极大值,时函数取得极小值,故选:A4C【分析】根据等方差数列的定义,结合等差数列的通项公式,运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列,所以,故选:C5A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程,将转为点到抛物线准线的距离,由抛物线的定义,可得,转化为求的最小值,结合图形,即可求解.【详解】解:由题意得抛物线的焦点为,准线方程为.过点作于点,由抛物线的定义可得,所以,由图形可得,当,三点共线时,最小,最小值为点A到准线的距离.故选:A.6A【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来,由椭圆的对称性得到一个平行四边形,利用椭圆的定义和余弦定理,结合重要不等式可得离心率的范围.
6、【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点,设直线与椭圆相交于,连接.根据椭圆的对称性可得:四边形为平行四边形.由椭圆的定义有:由余弦定理有:即所以当且仅当时取等号,又的斜率存在,故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即,所以故选:A7A【分析】结合导函数研究函数的单调性,通过单调性排除不满足的图像,选出答案.【详解】因为,所以, 因为,所以,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,由此可排除选项,故选:A.8A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数,再通过逆用求导公式得到,根据已知条件求得m的值,从而将抽象不等式转化为一元二次不等式,进而得解【详解】因为,所以,即,亦即,又,所以,即有原不
7、等式可等价于,即,解得的取值范围是故选:A9AC【分析】根据递增数列的定义判断【详解】A令,则,是递增数列,正确;B令,则,不合题意,错;C令,则,符合题意正确;D令,则,不合题意错故选:AC10AD【分析】根据直线平行和两线交于点时,交集为空集,可得结果【详解】解:因为集合,集合,且,所以直线与直线平行或交于点,当两线平行时,;当两线交于点时,解得综上得a等于或2故选:AD11AD【解析】求出每个选项中函数的二阶导函数,并验证是否对任意的恒成立,由此可得出合适的选项.【详解】对于A,当时,故不是凸函数;对于B,故是凸函数;对于C,对任意的,故是凸函数;对于D,对任意的,故不是凸函数故选:AD
8、12BC【分析】A项,先由椭圆与过原点直线的对称性知,再利用1的代换利用基本不等式可得最小值,A项错误;B项,由直线与椭圆方程联立,解得交点坐标,得出面积关于k的函数关系式,再求函数最值;C项,由对称性,可设,则,则可得直线的斜率与k的关系;D项,先由A、B对称且与点P均在椭圆上,可得,又由C项可知, 得,即,排除D项.【详解】对于A,设椭圆的右焦点为,连接,则四边形为平行四边形,当且仅当时等号成立,A错误;对于B,由得,的面积,当且仅当时等号成立,B正确;对于C,设,则,故直线的斜率,C正确;对于D,设,直线的斜率额为,直线的斜率为,则,又点和点在椭圆上,得,易知,则,得,D错误.故选:BC
9、.13【分析】判断出数列的周期性,由此求得.【详解】依题意,所以,所以数列是周期为的数列,所以.故答案为:14【分析】根据双曲线的标准方程,直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由得,所以,该双曲线的顶点为.故答案为:15【分析】根据可以求出,再结合可以判断是否是等差数列.【详解】当时,;当也符合,所以,数列为等差数列;当时,;当时,符合,所以,数列为等差数列;当时,;当时,不符合,所以,数列不是等差数列;当时,;当时,不符合,所以,数列不是等差数列.故答案为:.16【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点,由两条切线相互垂直,可知,由题知,解得,又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于
10、点,由两条切线相互垂直,知:,又在椭圆C1上不存在点P,使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直,所以,即得,所以,所以椭圆C1的离心率,又,所以.故答案为:.17(1)k3或1k3;(2)1k3;(3)k3.【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负,即可得出结论【详解】(1)1,即,方程表示双曲线,(k1)(|k|3)0,可得k3或1k3;(2)1,即,焦点在x轴上的双曲线,则,1k3;(3)1,即,焦点在y轴上的双曲线,则,k318(1)(2)极大值点,极小值点,极大值是,极小值是【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可,(2)令,求得,然后通过判断函数的单调性可求出的极值点和极值(1)函数
11、,函数的导数为,在处的切线方程:,即(2)令,解得,当时,可得,即的单调递减区间,或,可得,函数单调递增区间,的极大值点,极小值点,极大值是,极小值是19(1)(2)【分析】(1)利用等比中项法判断出为等比数列,设其公比为q(),由,求出,得到的通项公式;(2)先得到,利用错位相减法求和.(1)因为数列满足,所以.所以数列为等比数列,设其公比为q().所以,解得:.所以.即的通项公式为.(2)由(1)可知:,所以,所以得:-得:所以20(1)(2)或【分析】(1)求得线段AB的中点坐标和斜率,可得AB的垂直平分线的方程,与直线联立,可得圆C的圆心,求得,可得圆的半径,进而得到圆的方程;(2)讨
12、论直线的斜率不存在和存在,结合弦长公式和点到直线的距离公式,可得所求直线方程【详解】(1)线段AB的中点为,直线AB的斜率为,所以线段AB的垂直平分线为,即,由解得,所以圆心为,半径为,所以圆C的方程为;(2)当直线的斜率不存在时,由,得,或,即直线与圆C相交所得弦长为,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,由于圆C到的距离,所以,解得,所以即,综上所述,直线l2的方程为或21(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由题意可得动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,可得,从而可求出,进而可得动点的轨迹方程;(2)设直线与直线的斜率为,经分析直线的斜率存在,设直线,设,将直线方程与椭圆方程联立
13、方程组,消去,利用根与系数的关系,再结合可得,从而可求得与的关系,进而可证得结论【详解】(1)解:由题意得,则动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,可设为,故动点的轨迹方程为(2)证明:设直线与直线的斜率为如果直线与轴垂直,设,由题设可得,且,可得的坐标分别为,则,得,不符合题设从而可设直线,将代入,得,由题意可得,设,则,而,由题意得,故,即,解得当且仅当时,即,所以过定点22(1)在上单调递减,在上单调递增(2)【分析】(1)根据题意求导,解导数方程,讨论导数的正负,即可得函数的单调性;(2)根据题意,构造函数和,对进行分类讨论,结合单调性即可求解的取值范围.(1)当时,则,令,当时,解得,故当时,;当时,.所以,在上单调递减,在上单调递增.(2)令,则.当时,所以.当时,故在上单调递增.又,故.当时,令,则,故在上单调递增.故存在使得,且当时,即在上单调递减,所以当时,故不符合 .综上所述,的取值范围为