1、江苏省扬州江都中学2022-2023学年度高二数学期末试卷注意事项：本试卷共150分，考试时间120分钟一、单选题1在等差数列an中，a1a3334，则a8（）A5 B6 C8 D92函数的单调递减区间是()A B C D3已知是函数的极小值点，则的极小值为（）AB0C1D24定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，则数列的前24项和为（）AB3CD65试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则最小值为（）ABCD6已知是椭圆
2、的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD7函数的图象大致为（）ABCD8已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，则不等式的解集为（）A B C D二、多选题9下列是递增数列的是（）ABCD10已知集合，集合，且，则（）A2BCD11（多选）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（）ABCD12已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）A的最小值为3B面积的最大值为C直线的斜率为D为锐角三、填空题13在数列中，则的
3、值为_.14双曲线的顶点为_.15设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是_；16已知椭圆：与圆：，若在椭圆上存在4个点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_.四、解答题17已知1，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的椭圆；(3)表示等轴双曲线18设函数(1)求在处的切线方程；(2)求-8x3的极值点和极值19若数列满足，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和20已知圆C经过两点，且圆心G在直线上(1)求圆G的方程；(2)已知过点的直线与圆G相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程21已知，动点满足. （1）求动点的轨迹方
4、程；（2）设直线不经过点且与动点的轨迹相交于，两点.若直线与直线的斜率和为.证明：直线过定点.22已知函数，其中.(1)当时，讨论在上的单调性；(2)若对任意都有，求实数的取值范围.参考答案：1A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5a1a9，即2a510，a55.故选： A2B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】，则，由得，故的单调递减区间是，故选：B3A【分析】对求导，根据是的极小值点，得到，求出的值，进一步得到的极小值【详解】解：由，得，是的极小值点，经检验时，符合题意，所以，则当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，所以当时
5、函数取得极大值，时函数取得极小值，故选：A4C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，故选：C5A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.过点作于点，由抛物线的定义可得，所以，由图形可得，当，三点共线时，最小，最小值为点A到准线的距离.故选：A.6A【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
6、【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.由椭圆的定义有：由余弦定理有：即所以当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以故选：A7A【分析】结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为，所以， 因为，所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，由此可排除选项，故选：A.8A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有原不
7、等式可等价于，即，解得的取值范围是故选：A9AC【分析】根据递增数列的定义判断【详解】A令，则，是递增数列，正确；B令，则，不合题意，错；C令，则，符合题意正确；D令，则，不合题意错故选：AC10AD【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果【详解】解：因为集合，集合，且，所以直线与直线平行或交于点，当两线平行时，；当两线交于点时，解得综上得a等于或2故选：AD11AD【解析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A，当时，故不是凸函数；对于B，故是凸函数；对于C，对任意的，故是凸函数；对于D，对任意的，故不是凸函数故选：AD
8、12BC【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设，则，则可得直线的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，则四边形为平行四边形，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，的面积，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，设，则，故直线的斜率，C正确；对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，得，易知，则，得，D错误.故选：BC
9、.13【分析】判断出数列的周期性，由此求得.【详解】依题意，所以，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：14【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由得，所以，该双曲线的顶点为.故答案为：15【分析】根据可以求出，再结合可以判断是否是等差数列.【详解】当时，；当也符合，所以，数列为等差数列；当时，；当时，符合，所以，数列为等差数列；当时，；当时，不符合，所以，数列不是等差数列；当时，；当时，不符合，所以，数列不是等差数列.故答案为：.16【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于
10、点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.17(1)k3或1k3；(2)1k3；(3)k3.【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论【详解】（1）1，即，方程表示双曲线，(k1)(|k|3)0，可得k3或1k3；（2）1，即，焦点在x轴上的双曲线，则，1k3；（3）1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，k318(1)(2)极大值点，极小值点，极大值是，极小值是【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令，求得，然后通过判断函数的单调性可求出的极值点和极值(1)函数
11、，函数的导数为，在处的切线方程：，即(2)令，解得，当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，函数单调递增区间，的极大值点，极小值点，极大值是，极小值是19(1)(2)【分析】（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；（2）先得到，利用错位相减法求和.（1）因为数列满足，所以.所以数列为等比数列，设其公比为q（）.所以，解得：.所以.即的通项公式为.（2）由（1）可知：，所以，所以得：-得：所以20(1)(2)或【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨
12、论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程【详解】（1）线段AB的中点为，直线AB的斜率为，所以线段AB的垂直平分线为，即，由解得，所以圆心为，半径为，所以圆C的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，由，得，或，即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于圆C到的距离，所以，解得，所以即，综上所述，直线l2的方程为或21（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可得，从而可求出，进而可得动点的轨迹方程；（2）设直线与直线的斜率为，经分析直线的斜率存在，设直线，设，将直线方程与椭圆方程联立
13、方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合可得，从而可求得与的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得，则动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，可设为，故动点的轨迹方程为（2）证明：设直线与直线的斜率为如果直线与轴垂直，设，由题设可得，且，可得的坐标分别为，则，得，不符合题设从而可设直线，将代入，得，由题意可得，设，则，而，由题意得，故，即，解得当且仅当时，即，所以过定点22(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.（1）当时，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.所以，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则.当时，所以.当时，故在上单调递增.又，故.当时，令，则，故在上单调递增.故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，故不符合 .综上所述，的取值范围为