1、上海市新场中学2021学年第二学期末随堂测试高一数学一填空题（每题3分，共36分）1. 函数的最小正周期为_【答案】【解析】【详解】函数的最小正周期为故答案为2. 已知点，向量且，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设，得出的坐标，利用向量相等列方程组求解即可.【详解】解：设，则，因为，所以，解得，所以点的坐标为.故答案为：.3. 已知，在复平面内复数对应的点位于第_象限【答案】一【解析】【分析】首先得到复数的共轭复数，再根据复数的运算法则化简复数，最后根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限；故答案为：一4. 若，且，则与的夹角
2、为_.【答案】#【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，且，所以，即，即，所以，设与的夹角为，所以，因为，所以；故答案为：5. 若是实系数方程的一个根，则_.【答案】【解析】【分析】由实系数方程复数根的性质及根系关系求出a、b，即可得结果.【详解】由题意，方程的另一个根为，所以，即，又，所以.故答案为：6. 已知，则_.【答案】#【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得；故答案：7. 已知向量，不共线，实数x，y满足(3x4y) (2x3y) 63，则xy_.【答案】3【解析】【分析】由向量，不共线，利用向量相
3、等的条件列方程，即可解出.【详解】，不共线，且(3x4y) (2x3y) 63，解得xy3.故答案为：38. 复数为纯虚数，则_.【答案】【解析】【分析】由纯虚数定义及三角函数的性质求.【详解】由题意，可得.故答案：9. 在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为_.【答案】#【解析】【分析】由等体积法求出到平面的距离，根据正方体的性质有面，即可求到平面的距离.【详解】由，且，若到平面的距离为h，则，可得，由正方体的性质易知：面，故到平面的距离为.故答案为：10. 已知菱形ABCD的边长为1，且，则_.【答案】#1.5【解析】【分析】由菱形的性质求得，再由向量数量积的定义求.【详解】由菱形的性
4、质知：，所以.故答案为：11. 若是虚数单位，当时，的所有可能的取值组成的集合为_.【答案】【解析】【分析】因为对不同自然数有四种不同的答案,对的取值进行讨论即可求解【详解】当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, .所以, 当 时, 所有可能的取值为， ，故答案为：12. 把函数的图像按向量平移，得到的图像，且，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数平移规则得到，设，依题意根据数量积的坐标表示得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以由向左平移个单位，再向下平移个单位得到，所以，设，因为，所以，解得，所以；故答案为：二选择题（每题3分，共12分）13. 若复数满足条件，则实数的取值范围
5、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数模长求解集，即可得的范围.【详解】由题设，则.故选：A14. 函数的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为；故选：B15. 已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】解：，故当时，有最小值等于，故选：C16. 已知非零向量与满足，且，则为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 三边
6、均不相等的三角形【答案】A【解析】【分析】根据 表示的向量在的角平分线上, 同时利用 推断出的角平分线垂直于边, 进而可推断出三角形为等腰三角形, 同时根据向量积公式及 可求得的值, 进而求得 ,进而可推断出三角形为等边三角形.【详解】 表示边的单位向量, 表示边的单位向量, 表示的向量在的角平分线上,的角平分线垂直于边 , 所以是以角为顶角的等腰三角形, ，等腰中一角为，所以为等边三角形故选：A三解答题（8+8+10+12+14=52分）（解题必须写出必要的步骤）17. 求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于：（1）虚轴上；（2）第四象限.【答案】（1）或； （2）.【解
7、析】【分析】（1）由求m，代入验证，即可得结果.（2）由求出m的范围即可.【小问1详解】由题设，可得或，当时，对应点在虚轴上；当时，对应点在虚轴上；综上，或.【小问2详解】由题设，可得.18. 已知，与的夹角为（1）若，且，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用共线向量定理，列式即可求解；（2）利用两向量垂直，数量积为，再结合数量积的运算律和运算性质即可求解.【小问1详解】【小问2详解】19. 甲船在距离A港口24海里并在南偏西方向20的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40方向的B处沿直线行驶入港，甲乙两船距离为31海里.当乙船行驶20海里到达D处时
8、，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船.求此时甲乙两船之间的距离.【答案】21海里【解析】【分析】在中，由余弦定理得因为，可得 ，在中，由余弦定理得可得答案.【详解】因为，在中，由余弦定理得，即，解得，或舍去，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，解得， 所以此时甲乙两船之间的距离为海里.20. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点.且，（1）求EF与AD所成的角；（2）求平面EFB与平面ABCD所成锐二面角的大小.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）若为中点，连接，由矩形及中位线的性质，结合线线角的定义知EF与AD所成角为，由线面垂
9、直的性质有，即可确定EF与AD所成的角；（2）由（1）及二面角的定义确定面与面的夹角大小，根据面面垂直的判定易证面面ABCD，进而可知面EFB与面ABCD所成锐二面角的大小.【小问1详解】若为中点，连接， 由E，F分别是AB，PC的中点，故且，而在矩形ABCD中，则，故EF与AD所成角为，因为平面ABCD，面ABCD，则，即，所以，故为等腰直角三角形，则.【小问2详解】由（1）易知：平面ABCD，面ABCD，则，而，则，又，面，故面，由面，则，又面面，面，面，故面与面所成锐角的平面角为，由平面ABCD，面，则面面ABCD且交线为AB，综上，面与面ABCD所成锐二面角为.21. 已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）若求的值域；（3）将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点.【答案】（1）； （2）； （3）或，.【解析】【分析】（1）应用降幂公式化简，由正弦函数性质求最小正周期；（2）根据正弦型函数的性质求的区间值域；（3）由图象平移得，令结合三角函数的性质求零点即可.小问1详解】由，所以的最小正周期.【小问2详解】由，则，即，所以.【小问3详解】由题设，令，即，可得，所以或，即或，.故的零点为或，.
