1、北京市宣武区高三20042005学年度第二学期数学(理 科)第二次质量检测2005.5一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设,则( ) A. B. C. D. 2. 在等差数列中,则的值是( ) A. 24B. 48C. 96D. 无法确定 3. 若命题甲:“”;命题乙:“ABCD是平行四边形”,则甲是乙的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 两个同学做同一道题,他们做对的概率分别为0.8和0.9,则该题至少被一个同学做对的概率为( ) A. 0.98B.
2、 0.72C. 0.83D. 0.7 5. 函数的图象的一部分大致如下图所示,则的解析式是( ) A. B. C. D. 6. 函数的极值点是( ) A. B. C. 或或0D. 7. 某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;。当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( ) A. 17600元B. 17540元C. 17500元D. 17480元 8. 如图,正方体中,点P
3、在侧面及其边界上运动,并且总保持,则动点P的轨迹是( ) A. 线段 B. 线段 C. 中点与中点连成的线段 D. BC中点与中点连成的线段二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上。 9. 若函数的反函数是,则_,原点O_的图象上(填“在”或“不在”)。 10. 下图中曲线是函数的图象的一部分,则_,_,_。 11. 已知随机变量的分布列为:01P 且,则的数学期望_;随机变量的数学期望 _。 12. 已知复数,则的实部最大值为_,虚部最大值为_。 13. 如果直线与圆相交于M、N两点,且点M、N关于直线对称,则的值为_;不等式组表示的平面区域的面积为_。 14
4、. 已知抛物线在点P和Q处的切线斜率分别为1或,则 _。三. 解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分12分) 已知,记函数,且的最小正周期为。 (1)求的值; (2)求的单调区间。 16. (本题满分14分) 已知直三棱柱中,ACB90,CB1,M是侧棱的中点。 (1)求证:AM; (2)求证:平面ABM平面; (3)求点C到平面ABM的距离。 17. (本题满分13分) 已知定义在R上的函数满足:,当x0时,。 (1)求证:为奇函数; (2)求证:为R上的增函数; (3)解关于x的不等式:。(其中且a为常数) 18. (本题满分13分
5、) 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A、B两种商品各多少才最合算。请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)。 19. (本题满分14分) 已知点满足:,且已知 (1)求过点的直线的方程; (2)判断点与直线的位置关系,并证明你
6、的结论; (3)求点的极限位置。 20. (本题满分14分) 已知直线与曲线交于两点A、B。 (1)设,当时,求点P的轨迹方程; (2)是否存在常数a,对任意,都有?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。 (3)是否存在常数m,对任意,都有为常数?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由。【试题答案】一. 选择题:每小题5分,共40分。 1. B2. B3. B4. A5. D6. D7. C8. A二. 填空题:每小题5分,共30分。 9. 1,在(第1空2分,第2空3分) 10. 2,2,(第1空1分,第2、3空各2分) 11. (第1空2分,第2空3分) 12. (第1空2分,第
7、2空3分) 13. (第1空2分,第2空3分) 14. 三. 解答题:共80分。 15. (1) 2分 6分 (2)令 故的单调减区间为9分 令 故的单调增区间为12分 16. 解法一:(1)在与中 ,且 BC平面是在平面内的射影 又平面 5分 (2)由(1)知:,且 AM平面 又平面ABM 平面ABM平面9分 (3)设点C到平面ABM的距离为h 易知 即点C到平面ABM的距离为14分 解法二:(1)如图建立空间直角坐标系Oxyz,则 ,即5分 (2)由 平面,即是平面的一个法向量 设为平面ABM的一个法向量,则 ,即 令,则 平面ABM平面9分 (3)由(2)知:为平面ABM的一个法向量 又
8、 点C到平面ABM的距离为: 14分 17. (1)由,令,得: ,即 再令,即,得: 是奇函数4分 (2)设,且,则 由已知得: 即在R上是增函数8分 (3) 同理, 故原不等式化为: 即 当,即时,不等式解集为 当,即时,不等式解集为 当,即时,不等式解集为13分 18. 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图: 据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。 4分 把代入式,得: 解得: 故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用表示,再把代入式,得:,故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用表示。8分 设下月
9、投资A种商品x万元,则投资B种商品为万元,可获纯利润 当时 故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元,可获最大纯利润4.1万元。13分 19. (1)由,得: 显然直线的方程为3分 (2)由,得: 点,猜想点在直线上,以下用数学归纳法证明: 当n2时,点 假设当时,点,即 当时, 点 综上,点8分 (3)由,得: 数列是以为首项,公差为1的等差数列 即点的极限位置为点P(0,1)14分 20. (1)设,则 由消去y,得: 依题意有解得: 且,即或且 点P的坐标为:消去m,得: ,即 由,得 ,解得或 点P的轨迹方程为(或)5分 (2)假设存在这样的常数a 由消去y得: 解得: 当时,且方程判别式 对任意,A、B两点总存在,故当时,对任意,都有10分 (3)假设这样的常数m存在,对任意的,使为一常数M。 即 即 化简,得: a为任意正实数 ,即,矛盾。 故这样的常数m不存在。14分