1、北京市宣武区高三20042005学年度第二学期数学（理 科）第二次质量检测2005.5一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，则的值是（ ） A. 24B. 48C. 96D. 无法确定 3. 若命题甲：“”；命题乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 两个同学做同一道题，他们做对的概率分别为0.8和0.9，则该题至少被一个同学做对的概率为（ ） A. 0.98B.
2、 0.72C. 0.83D. 0.7 5. 函数的图象的一部分大致如下图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的极值点是（ ） A. B. C. 或或0D. 7. 某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；。当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（ ） A. 17600元B. 17540元C. 17500元D. 17480元 8. 如图，正方体中，点P
3、在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 中点与中点连成的线段 D. BC中点与中点连成的线段二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。 9. 若函数的反函数是，则_，原点O_的图象上（填“在”或“不在”）。 10. 下图中曲线是函数的图象的一部分，则_，_，_。 11. 已知随机变量的分布列为：01P 且，则的数学期望_；随机变量的数学期望 _。 12. 已知复数，则的实部最大值为_，虚部最大值为_。 13. 如果直线与圆相交于M、N两点，且点M、N关于直线对称，则的值为_；不等式组表示的平面区域的面积为_。 14
4、. 已知抛物线在点P和Q处的切线斜率分别为1或，则 _。三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分12分） 已知，记函数，且的最小正周期为。 （1）求的值； （2）求的单调区间。 16. （本题满分14分） 已知直三棱柱中，ACB90，CB1，M是侧棱的中点。 （1）求证：AM； （2）求证：平面ABM平面； （3）求点C到平面ABM的距离。 17. （本题满分13分） 已知定义在R上的函数满足：，当x0时，。 （1）求证：为奇函数； （2）求证：为R上的增函数； （3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数） 18. （本题满分13分
5、） 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额（万元）123456获纯利润（万元）0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额（万元）123456获纯利润（万元）0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两个有效数字）。 19. （本题满分14分） 已知点满足：，且已知 （1）求过点的直线的方程； （2）判断点与直线的位置关系，并证明你
6、的结论； （3）求点的极限位置。 20. （本题满分14分） 已知直线与曲线交于两点A、B。 （1）设，当时，求点P的轨迹方程； （2）是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。 （3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。【试题答案】一. 选择题：每小题5分，共40分。 1. B2. B3. B4. A5. D6. D7. C8. A二. 填空题：每小题5分，共30分。 9. 1，在（第1空2分，第2空3分） 10. 2，2，（第1空1分，第2、3空各2分） 11. （第1空2分，第2空3分） 12. （第1空2分，第
7、2空3分） 13. （第1空2分，第2空3分） 14. 三. 解答题：共80分。 15. （1） 2分 6分 （2）令 故的单调减区间为9分 令 故的单调增区间为12分 16. 解法一：（1）在与中 ，且 BC平面是在平面内的射影 又平面 5分 （2）由（1）知：，且 AM平面 又平面ABM 平面ABM平面9分 （3）设点C到平面ABM的距离为h 易知 即点C到平面ABM的距离为14分 解法二：（1）如图建立空间直角坐标系Oxyz，则 ，即5分 （2）由 平面，即是平面的一个法向量 设为平面ABM的一个法向量，则 ，即 令，则 平面ABM平面9分 （3）由（2）知：为平面ABM的一个法向量 又
8、 点C到平面ABM的距离为： 14分 17. （1）由，令，得： ，即 再令，即，得： 是奇函数4分 （2）设，且，则 由已知得： 即在R上是增函数8分 （3） 同理， 故原不等式化为： 即 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为13分 18. 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。 4分 把代入式，得： 解得： 故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用表示，再把代入式，得：，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用表示。8分 设下月
9、投资A种商品x万元，则投资B种商品为万元，可获纯利润 当时 故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元。13分 19. （1）由，得： 显然直线的方程为3分 （2）由，得： 点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明： 当n2时，点 假设当时，点，即 当时， 点 综上，点8分 （3）由，得： 数列是以为首项，公差为1的等差数列 即点的极限位置为点P（0，1）14分 20. （1）设，则 由消去y，得： 依题意有解得： 且，即或且 点P的坐标为：消去m，得： ，即 由，得 ，解得或 点P的轨迹方程为（或）5分 （2）假设存在这样的常数a 由消去y得： 解得： 当时，且方程判别式 对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有10分 （3）假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。 即 即 化简，得： a为任意正实数 ，即，矛盾。 故这样的常数m不存在。14分