1、上海市川沙中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数定义域为_【答案】【解析】【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域【详解】解：依题意可得，可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：2. 已知向量，若向量，则实数_.【答案】【解析】【分析】直接根据向量平行得到，解得答案.【详解】向量，由得，所以.故答案为：3. 已知复数，则复数的虚部为_.【答案】【解析】【分析】根据复数乘法和除法运算法则化简，即可得到复数的虚部.【详解】，则复数虚部为.故答案为：.4. 若，则角_.【答案】【解析】【分析】利用反三角函数解方程即可.
2、【详解】由于表示上正弦值等于的一个锐角，且，故.故答案为：.5. 在中，则的形状为_.(填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形”)【答案】钝角三角形【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理求出，即可得到答案.【详解】在中，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以.故的形状是钝角三角形.故答案为：钝角三角形6. 已知，向量在上的投影向量为_.【答案】【解析】【分析】直接根据投影向量的概念计算得到答案.【详解】向量在上的投影向量为.故答案为：7. 已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则_.【答案】【解析】分析】计算，计算得到答案.【详解】由题意得，所以.故答案为：8. 已知函数，且，则_
3、.【答案】0【解析】【分析】计算得到，代入计算得到答案【详解】，则.故答案为：9. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、所对的边长分别为、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，利用余弦定理得到，代入公式计算得到答案.【详解】由于，所以，故，即，因为，故.由余弦定理得，整理得，所以.故答案为：10. 在中，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先判断是等腰直角三角形，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，写出点的坐标，设且，求出和的坐标，计算再
4、求最值即可.【详解】在中，所以，是等腰直角三角形，如图以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，则，设 则 ，所以，所以时，取得最小值为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断是等腰直角三角形，易于建坐标系，设出动点坐标且，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积，再计算最值.11. 定义在区间上的函数与的图象的交点个数为_.【答案】16【解析】【分析】画出时的图像，根据图像结合函数的奇偶性得到答案.【详解】由于，故为偶函数，因为也为偶函数，故考虑的情况，画出图像，如图所示：共有个交点，且时，没有交点，故共有16个交点.故答案为：1612. 已知平面向量满足，则的最大值是_.【答
5、案】【解析】【分析】计算得到，平方化简得到，计算得到最值.【详解】由，得，所以，当和共线时等号成立，所以，即，所以，又，当时取等号.所以的最大值是.故答案为：二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 下列命题一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则是纯虚数D. 若且，则且【答案】D【解析】【分析】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.【详解】对于，当时，故选项错误；对于，当时，但并不相等，故选项错误；对于，若，则并不是纯虚数，故选项错误；对于，因为且，所以为正实数，则且，故选项正确，故选：.14. 已知向量,则下列能使成立的一组向量是( )A. B. C. D.
6、【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，只要不共线即可【详解】A中是零向量，与任何向量共线，B中，D中，只有C中不共线，根据平面向量基本定理，存在使得故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础15. 若把函数的图象沿轴向左平移个单位，沿轴向下平移一个单位，然后再把图象上各个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象的平移变换求即可.【详解】函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到，然后向上平移一个单位得到，向右平移个单位得到，所以.故选：D.16. 在中，为中点，为中点，则以
7、下结论： 存在，使得； 存在三角形，使得，则 （ ）A. 成立，成立B. 成立，不成立C. 不成立，成立D. 不成立，不成立【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.【详解】不妨设， ，若，满足条件的明显存在，成立； F为AB中点，与交点即重心，为三等分点，为中点，与不共线，即不成立；故选：B三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17. 已知，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】利用同角三角函数基本公式和正弦的和差公式求值即可.【小问1详解】因为，且，所以，所以.【小问2详解】因为，所以.18. 已知平面向量，.（1
8、）当为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由与的数量积为可得；（2）由与的数量积大于0，再去除两向量同向的情形【详解】（1）由已知，与垂直，则解得；（2），又时，两相向夹角为0，所以且19. 已知向量，设函数.（1）求函数最小正周期和严格单调增区间；（2）求函数在恒成立，其实数的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）化简得到，得到周期，计算得到单调区间.（2）题目转化为在恒成立，根据范围计算函数的值域得到答案.【小问1详解】，最小正周期为，令，解得，严格单调增区间为；【小问2详解】恒成立，得在恒成立，当时，所
9、以.20. 图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为公里，与小岛相距公里（其中为常数），已知角为钝角，且（1）求小岛与小岛之间的距离；（用表示）（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；（用表示）（3）记为，为，求的值【答案】（1）公里；（2）平方公里；（3）【解析】【分析】（1）结合同角得平方关系求出的值，进而在中结合余弦定理即可求出结果；（2）结合（1）的结果求出的面积，再在中利用余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式求出的面积，进而可以求出结果；（3）在利用余弦定理求出的值，进而结合同角的平方关系求出的值，然后结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因
10、为角为钝角，且，所以，在中，即，因为，解得，所以小岛与小岛之间的距离公里；（2）由（1）知，所以，因为，所以，在中，即，因为，解得，所以,所以，所以四个小岛所形成的四边形的面积为平方公里；（3）在中，因此，则，,所以.21. 已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记.（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；（2）当时，求函数的解析式；（3）设函数，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1），()； （2）. （3）.【解析】【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、时，求出对应函数的解析式
11、；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围.【详解】(1)函数的最小正周期为，令，解得对称轴为；(2)当时，在区间上，所以当时，在区间上，所以，当时，在区间上，所以，所以当时，； (3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以即函数的周期为4，由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为，已知有解，即，则，若对任意，存在，使得成立，则在上的值域是在上的值域的子集，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，因在上单调递增，所以，所以，即.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.
