1、上海外国语大学附属浦东外国语学校2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，本大题共有8题）1. 已知、，且，（其中为虚数单位），则_【答案】#【解析】【分析】利用复数的减法化简可得结果.【详解】.故答案为：.2. 已知，,且、的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】根据求出，根据即可求出.【详解】因为，且、的夹角为，.故答案：.3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则=_【答案】【解析】【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得，所以.故答案为：.4. 在中，则_【答案】【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案.【详解】因为，所以.
2、故答案为：.5. 正方体中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，则直线MN与D1C的位置关系是_.【答案】异面【解析】【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，平面，平面DCC1D1，直线MN与D1C的位置关系是异面故答案为：异面6. 已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为_.【答案】【解析】【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程的判别式小于零，即，关于的实系数一元二次方
3、程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，因此有.故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7. 如图，在长方体中，则直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】#【解析】【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，所以，故答案为：.8. 如图，在直角三角形ABC中，斜边AB4，以斜边AB为一边向外作矩形ABMN，
4、且BM2（其中点M、N与C在直线AB两侧），则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，把表示为关于的三角函数可解决此题【详解】解：设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法二、选择题（本大题满分20分，本大题共有4题）9. 已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解
5、】连结，则为的中位线，故选：A10. 设复数z=a+bi(a，bR)，若与互为共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.【详解】因为与互为共轭复数，所以，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.11. 以下数都在复数范围内（1）如果，则，；（2）；（3）；（4）若，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用复数运算性质逐项分析即可【详解】（1）错误,因为可以是复数（2）错误,设,其中.显然,从而（3）正确,（4）错误,
6、则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如故选：B12. 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H则以下命题中，错误的命题是A. 点H是A1BD的垂心B. AH垂直平面CB1D1C. AH的延长线经过点C1D. 直线AH和BB1所成角为45【答案】D【解析】【详解】因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D.三、解答题（本大题满分40分，本大题共有3题）13 已知.（1）若,且、三点共线,求的值.（2）当实数为何值时,与
7、垂直?【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，且、三点共线，则可得，即，解得【小问2详解】由题意可得，因为与垂直，则可得解得14. 已知复数（1）求|的最小值；（2）若复数为纯虚数，复数满足，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由复数模的公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到，列出方程组，求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由复数，可得，故当时，的最小值为【小问2详解】解
8、：因复数是纯虚数，所以，解得，故设，则，由题意得，解之得或，所以或，所以15. 如图，已知在长方体中，点是中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明；(2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出的值，结合余弦定理计算即可.【小问1详解】连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点，又因为E为的中点，连接，则，平面EBD，平面EBD，平面EBD；【小问2详解】由(1)知，所以为异面直线与所成角的平面角，在中，由余弦定理，得，故异面直线与所成角的余弦值为.
