1、培优冲刺（10）难度评估：困难 测试时间：60分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT对于任意x，yT，若xy，则S；下列命题正确的是（）A若S有4个元素，则ST有7个元素B若S有4个元素，则ST有6个元素C若S有3个元素，则ST有5个元素D若S有3个元素，则ST有4个元素2(本题5分)复数的模为1，其中为虚数单位，则这样的一共有（）个.A9B10C11D无数3(本题5分)执行如图所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的结果是A1BC D4(本题5分)函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图
2、象的一条对称轴，且在上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）ABCD5(本题5分)已知平面向量，满足，对任意实数恒成立，则的最大值为（）ABCD6(本题5分)如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点为线段的动点记与所成角的最小值为，当为线段中点时，二面角的大小为，二面角的大小为，则，的大小关系是（）A BCD7(本题5分)若函数有零点，则的取值范围是（）ABCD8(本题5分)如图所示，将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为A33B56C64D789(本题5分)已知数列满足，若，则
3、“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10(本题5分)已知数列中，记，则下列结正确的是（）ABCD11(本题5分)已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为ABCD12(本题5分)设函数，、.记，、，则（）ABCD二、填空题(共20分)13(本题5分)已知正方形，点O关于直线FM对称的点为N，则的最小值为_.14(本题5分)如图，在中，是的角平分线，沿将折起到的位置，使得平面平面若，则三棱锥外接球的表面积是_15 (本题5分)黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解
4、决的世界难题黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手已知正项数列的前项和为，且满足，则_（其中表示不超过的最大整数）16(本题5分)参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯
5、泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率_.参考答案1A【解析】【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，则，且，则，同理，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若， 则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.2C【解析】【分析】先根据复数
6、的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.【详解】，其中，所以，即，当时，所以，因为，所以或；，所以，因为，所以，或；当时，即，因为，所以，即，因为，所以，综上：，一共有11个.故选：C.3C【解析】【详解】试题分析：当时，此时否，此时，代入，否，代入得，此时是，输出，故选：C4A【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或或或在上单调递减，当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，符合取时，此时，当时，满足在上单调递减，符合当时，舍去，当时，也舍去当时，取知此时，当时，此时在上单调递
7、增，舍去当时，舍去，当k1时，也舍去综上：或2，.故选：A.5D【解析】【分析】把不等式两边平方，化为关于的不等式，再由0求得，由，可设，根据，得向量对应点的坐标的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，再由，可以看成和两点之间的距离，从而即可得出答案.【详解】解：由，得，即，因为对任意实数恒成立，所以，解得，所以即，由，可设，则，因为，所以，即，所以向量对应点的坐标的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，可以看成和两点之间的距离，将代入，得在圆内，圆心到点的距离为，所以的最大值为.故选：D.6B【分析】BE与AP所成角的最小值即为AP与平面PBD所成的角，利用空间中的线与线、线与平面的垂直关系可得与平面P
8、BD所成的角即为，设即表示；利用一线定角表示与，分别计算其正切值，即可比较大小.【详解】BE与AP所成角的最小值即为AP与平面PBD所成的角平面PCD，又，面PAD，又，面PAB，而面PBD，面面PAB，与平面PBD所成的角即为，即不妨设，则，在平面PAD内作，面面ABCD，面ABCD，在面ABCD内作，连PM，则，即为二面角的平面角，在中，同理，作，连，则，即为二面角的平面角，即易知：，故选：B.7C【解析】【分析】将零点问题转化为两个函数交点问题，构造函数，考察函数的极值及变化速率的关系可得.【详解】易知，当时，函数恒成立，不满足题意因为所以函数有零点，有零点，则方程有解，即方程有解即函数
9、与的图象在上有交点，易知时，时，故，当时，易知时，时，故，因为恒成立，所以此时无交点；当时，易知时，时，故，易知，当时，必有，所以当时，两函数图象一定有交点.令，因为，故函数单调递增，且，所以，当时，即成立.当，时，当时，此时，故两函数图象在上有交点.综上，b的取值范围为故选：C.8B【解析】记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，否则，类似的定义，计算得到，再证明
10、，再证明对任意均有，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即，其次证明：，将将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，否则，类似的定义，所以，由于染色的格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中，从而，所以，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似的，在列中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，则下面分两种
11、情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为色，则方格的33列均含有的方格，又色的方格有363个,故至少有11行有色方格，于是由得，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意均有，从而，由式知：，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.9B【解析】【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论【详解】解：令，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有
12、，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，则，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，由，若数列单调，则，全为正或全为负，由，则，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项故选：B.10D【解析】【分析】根据数列特征得到，且与同号，结合裂项相消法求得，与比较，发现不恒成立，判断出A选项；结合，可得，判断出B选项；利用可得：，构造新函数可得：，得到，而根据一次函数与对数函数的增长速度，可得不恒成立，故判断C选项；根据题
13、干条件得到，进而求出，结合数列的单调性可得：，故D选项正确.【详解】由，可得：，故，所以，因为，所以，故，所以与同号，因为，所以，综上：，又因为，可得：，所以，因为，所以，所以，从而，所以不恒成立，选项A不成立因为，所以恒成立，选项B不成立；因为，所以，若，则，其中设（），则，所以在上单调递减，其中，当时，所以，故有，结合函数的增长速度，显然不恒成立，故选项C错误；，可视为数列的前项和，单调递增，故恒成立，选项D正确.故选：D.11C【详解】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率详解：不
14、妨设在第二象限，则在等腰中，设，则，为锐角外接圆面积为，则其半径为，设点坐标为，则，即点坐标为，由点在双曲线上，得，整理得，故选：C12D【解析】【分析】化简、，利用函数单调性比较这三个数与的大小关系，即可得出结论.【详解】函数在上单调递增，且，所以，因为，故函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，函数的图象关于直线对称，由题意可知，则，因为，所以，因为，故函数的图象关于点对称，由题意可知，则，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，因为，所以，因为，所以，因此，.故选：D.130【解析】【分析】利用点O关于直线FM对称求出N点坐标，结合对勾函数求出横坐标的
15、取值范围，结合N的轨迹，利用极化恒等式进行求解【详解】由题意得：，则直线MF：，设，则，解得：，所以，其中，由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增，其中，从而，且当时，又点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，取BC的中点H，连接NH，因为，两式平方后相加得：，要想的值最小，则需要最小，连接MH，与圆弧交点N即为最小的，此时由勾股定理得：，此时，过点N作NGy轴于点G，则，所以，故，符合要求，故.故答案为：014【解析】【分析】先利用角平分线及求出各边长，进而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球表面积.【详解】过点作，连接.设，则，在中
16、，由余弦定理可得因为平面平面，交线为CD，所以平面，因为BE平面BCD，所以，则，解得：，从而在中，由余弦定理可得因为CD是ACB的角平分线，所以，由正弦定理得：，而，所以，因为，且，所以设外接圆的圆心为，半径为r，则，点到直线的距离设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则，即，解得：，故三棱锥外接球的表面积是1588【解析】【分析】根据已知条件，可得数列是首项、公差均为1的等差数列，即，再结合放缩法，即可求解【详解】由题意可得，当时，化简得，又当时，数列是首项、公差均为1的等差数列，即，当时，,设，由可得，=，且，.故答案为：8816【解析】【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，直线PR的方程为 设,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN的方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：
