1、第七节 离散型随机变量的均值与方差(1)均值称x1p1x2p2xnpn为随机变量X的或，记为E(X)或，即E(X)x1p1x2p2xnpn，其中xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.它反映了离散型随机变量取值的基础梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pn均值数学期望平均水平(2)方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示，则(xi)2(E(X)描述了xi(i1,2，n)相对于均值的偏离程度，故(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中pi0，i1,2，n，p1p2pn1)刻画了随机变量X与
2、其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差记为或，也可用公式V(X)x2ipi2计算，其算术平方根称为X的标准差，即.V(X)2ni 1V(X)2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)V(aXb)a2V(X)(a、b为实数)基础达标1.(教材改编题)已知的分布列为：101P0.50.30.2则E()_.解析：E()(1)0.500.310.20.3.0.32.(选修23P66例2改编)某批产品的不合格率是0.05，现抽取10件该产品，设不合格产品数是X，则V(X)_.解析：V(X)npq100.050.950.475.0.4753.(选修23P716题改编)两封
3、信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)_.解析：X的分布列如下：494919X012P所以期望E(X)012.9494919632324.(选修 23P66 例 2 改编)某批产品的不合格率是 0.05，现抽取 10 件该产品，设不合格产品数是 X，另有一个随机变量 Y 满足：Y2X1，则 E(Y)_.解析：E(Y)E(2X1)2E(X)12(100.05)12.2题型一 离散型随机变量的均值【例 1】(2010全国)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审
4、，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家独立评审(1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(2)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 X 的分布列及期望解(1)投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率为 0.50.5C120.50.50.30.4.(2)XB(4,0.4)，其分布列为P(X0)(10.4)40.129 6，P(X1)C140.4(10.4)30.345 6，P(X2)C 240.42(10.4)20.345 6，P(X3)C340.43(
5、10.4)0.153 6，P(X4)0.440.025 6.期望 E(X)40.41.6.变式 11 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区B 肯定是受 A 感染的对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 12.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 13.在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量，则 E(X)_.解析：X12 3P11121131 12 23 1112 131 12 13E(X)1 132 12 3 16 116.变式 12 某次乒
6、乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 23.(1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率；(3)设甲比赛的次数为 X，求 X 的数学期望解析：设甲 n 局获胜的概率为 P1n，n3,4,5.(1)比赛三局甲获胜的概率是：P3C33233 827；(2)比赛四局甲获胜的概率是 P4C 2323313 827；比赛五局甲获胜的概率是 P5C242331321681；甲获胜的概率是：P3P4P5 6481.(3)记乙 n 局获胜的概率为 Pn，n3,4,5.P3C33133 127，P4C 23 13323 227；P5C24133 232
7、881.故甲比赛次数 X 的分布列为X345P P3P3P4P4P5P5所以甲比赛次数的数学期望是：E(X)31827 2748227 275 16 881 8110727.变式 21 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n 号的有 n 个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求 的分布列、期望和方差；(2)若 ab，E()1，V()11，试求 a，b 的值解析：(1)的分布列为：01234P1212011032015E()0 121 1202 1103 3204 151.5，V()(01.5)2 12(11.5)2 120(21.5)2 1
8、10(31.5)2 320(41.5)2 152.75.(2)由 V()a2V()，得 a22.7511，即 a2.又 E()aE()b，当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b，得 b4.4,22,2即为所求或baba题型三 离散型随机变量的均值的实际应用【例 3】甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励 a 万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理(已知甲的命中率为 34，乙的命中率为 45)解 甲单独击落的概率为314531 14 3445 45 45 319；乙单独击落的概率为144531 14 3445 45
9、 45 419；甲、乙共同击落的概率为344531 14 3445 45 45 1219.设 是甲得到的奖金数，则分布列是02aaP4191219319E()0 419 2a1219a 319 919a，因此甲得到奖金数应为 919a，乙得到奖金数为 a 919a 1019a.变式 31 甲、乙双方玩掷骰子游戏，规则如下：如果点数大于或等于 5 点，则算甲方赢，乙方给甲 m 元，否则算乙方赢，甲方给乙方 n 元；如果第一轮掷骰子甲赢，则游戏结束，否则进行第二轮掷骰子的游戏，无论谁赢游戏结束(1)如果 m2，n1，甲方和乙方哪方赢钱的期望更大？(2)你若希望赢钱，该选择哪一方？解析：甲方赢的概率
10、 p1 13，乙方赢的概率 p2 23.(1)甲方赢取金额 可能的取值为：2,1，2，则 P(2)p1 13，P(1)p2p1 29，P(2)p2p2 49，E()0，所以甲方和乙方赢钱的期望是一样的(2)甲方赢取金额 可能取值为 m，mn，2n，则 P(m)p1 13，P(mn)p2p1 29，P(2n)p2p2 49，E()5 109mn.当 m2n 时，选择甲方；当 m2n 时，选择乙方；当 m2n 时，选择两方都一样基础达标【例 1】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 0
11、00 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 10.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率 p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)分析 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p，记投保的 10 000 人中出险的人数为，则 B(104，p)题型二 离散型随机变量的方差【例 2】(2010江苏苏北三市模拟)在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为 p，判断错误
12、的概率为 q，若判断正确则加 1 分，判断错误则减 1 分，现记“该明星答完 n 题后总得分为 Sn”，当 pq 12时，记 X|S3|，求 X 的分布列及数学期望和方差解 X|S3|的取值为 1,3，又 pq 12，P(X1)2C1312122 34，P(X3)123 123 14.所以 X 的分布列为：X 1 3P3414且 E(X)1 343 14 32，方差 V(x)3122 3433 22 14 34.解(1)记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，即 10 000 人中至少有 1 人出险，所以 P(A)1(1p)104，又P(A)10.999104，故
13、p0.001.(2)该险种总收入为 104 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和设 是出险人数，期望支出是 104E()5104，盈利的期望为 104a104E()5104，由 B(104,103)知，E()1000010310，所以 104a1041051040a1050a15(元)故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元【例 2】(1)已知 0p1，设随机变量 和 的分布分别为 P(k)C 2k pk(1p)2k(k0,1,2)，P(m)C4m pm(1p)4m(m0,1,2,3,4)，且 P(1)59，求 P(1)的值；(2)AB 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市
14、场分析，X1 和 X2 的分布列分别为X15%10%P 0.80.2 在 AB 两个项目上各投资 100 万元，Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 V(Y1)，V(Y2)；将 x(0 x100)万元投资 A 项目，100 x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和，求 f(x)的最小值，并指出 x 为何值时，f(x)取到最小值X22%8%12%P 0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，V(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，V(Y2)(28)20.
15、2(88)20.5(128)20.312.将 x(0 x100)万元投资 A 项目，100 x 万元投资 B 项目所得利润分别用 Y1，Y2 表示，则 Y1100 x Y1，Y2100100 xY2，则 f(x)V(Y1)V(Y2)V1100 x YV 1002100 x Y 100 x2V(Y1)100100 x2V(Y2)41002 x23(100 x)241002(4x2600 x31002)，当 x 60024 75 时，f(x)3 为最小值分析(1)由 P(1)59求出 p，再求 P(1).(2)直接利用方差公式计算；将 x(0 x100)万元投资 A 项目，100 x 万元投资 B
16、 项目所得利润分别用 Y1，Y2 表示，则 Y1100 x Y1，Y2100100 xY2，再利用方差的性质计算 V(Y1)，V(Y2)解(1)P(1)1P(0)1(1p)2 59p 13，P(1)1P(1)1P(0)1(1p)4 6581.(2)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为Y1510P 0.80.2 Y22812P 0.20.50.32.(2010福建)设 S 是不等式 x2x60的解集，整数 m，nS.(1)记使得“mn0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；(2)设 m2，求 的分布列及其数学期望E()知识准备：弄清基本事件，古典概型，分布列及
17、其数学期望的概念及应用链接高考1.(2010湖北)某射手射击所得环数 的分布列如下：7 89 10P x 0.10.3 y已知 的期望 E()8.9，则 y 的值为_知识准备：知道离散型随机变量的分布列，会求数学期望解析：由表格可知：x0.10.3y1，且 7x80.190.310y8.9，联立解得 y0.4.0.4解析：(1)由 x2x60 得2x3，即 Sx|2x3，由于整数 m，nS 且 mn0，所以 A 包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于 m 的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以 m2 的所有不同取值为 0,1,4,9，且有 P
18、(0)16，P(1)26 13，P(4)26 13，P(9)16，故 的分布列为 0 1 4 9P16131316所以 E()0 16 1 134 139 16 196.链接高考1.离散型随机变量的均值与方差的意义(1)离散型随机变量的均值均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，它描述 X取值的平均状态教材中给出的 E(aXb)aE(X)b，说明随机变量 X的线性函数 YaXb 的均值等于随机变量 X均值的线性函数(2)离散型随机变量的方差V(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，V(X)越大，表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散；反之，V(X)越小，X 的取值越集中在 E(X)附近，统计中常用 V X来描述 X 的分散程度V(X)与 E(X)一样，也是一个实数，由 X 的分布列唯一确定2.均值与方差的求法(1)先求随机变量X的分布列(2)利用分布列，由均值的定义求E(X)，由方差的定义求V(X)(3)均值与方差的关系,)()(1)()()(2)()()(2)()(2)()(22221212122121XEXEXEXEXEXEpXEpxXEpxpXExXExpXExXViniiiniiiniiiiniiini利用此关系求方差比方差的定义更好.
