1、 三明中学2023-2024学年高三暑期考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，所以，故A，B，C错误.故选：D2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得，即，所以，即A、B、C三选项错误，D正确.故选：D3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B等
2、于（ ）A. 30B. 45C 30或150D. 45或135【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求解【详解】由正弦定理得，又，即，又，或，故选：D4. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，故选：A5 已知，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答.【详解】因，所以.故选：B6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存投放和搬运，从
3、而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）A. 20B. 27C. 32D. 40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.【详解】依题意得，解得，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有
4、两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，单调递减，时，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.8. 已知在上存在唯一实数使，又，对任意的，均有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数式，利用不等式恒成立得出的最大值，从而求得值，然后利用正弦函数性质根据题中唯一解的条件求得的范围【详解】，又对任意的，均有成立，即，所以恒
5、成立，即恒成立，的最大值是，所以，又，所以，时，又，是唯一的，因此有，解得故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列命题是真命题的是（ ）A. ，使函数在R上为偶函数B. ，函数的值恒为正数C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】对AC例说明其正确性，对BD可举例说明其是错误【详解】对A，当时，函数为，满足，即函数为偶函数，正确；对B，当时，B 错；对C，当时，正确；对D，当时，而，D错故选：AC10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）A. B. 是图象
6、的一个对称中心C. 当时，取得最大值D. 函数在区间上单调递增【答案】BD【解析】【分析】求得函数的解析式判断选项A；代入验证判断选项B；代入验证判断选项C；代入验证判断选项D.【详解】选项A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；选项B：，则是图象的一个对称中心.判断正确；选项C：，当时，取得最小值.判断错误；选项D：由，可得则函数在区间上单调递增.判断正确.故选：BD11. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线部分图像如图所示，则下列说法
7、正确的是（ ）A. B. C. 的单调减区间为，（）D. 图像可以由图像向右平移个单位得到【答案】AB【解析】【分析】由图象求出解析式，依据题意得出解析式，对各选项逐个辨析即可.【详解】对于A，由已知，故选项A正确；对于B，由图象知，又，且在的单调递减区间上，（），又，故选项B正确；对于C，由，（），解得，（），的单调减区间为，（），故选项C错误；对于D，图像向右平移个单位得到：，故选项D错误.故选：AB.12. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A. 的图象关于对称B. 的图象关于对称C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即
8、可得到.【详解】为偶函数，关于对称，根据图像变换关于对称，故A正确；为奇函数，关于中心对称，根据图像变换关于中心对称，故B错误；由以上分析得的周期为，即，故C正确；关于中心对称，关于对称，,，是周期为的函数，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 化简的结果为_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式化简得解，注意需变函数名时三角函数的符号【详解】原式【点睛】本题考查诱导公式，注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的运用要领，特别是需要变函数名时，函数的符号，此题属于基础题.14. 已知，若，则_【答案】【解析】【分析】构造新函数，利用的奇偶性求解【详解】设，易知的
9、定义域是，又，是奇函数，所以，故答案为：15. 在中，则的形状为_【答案】等边三角形【解析】【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状【详解】由正弦定理，所以，代入得，所以，三角形为等边三角形，故答案为：等边三角形16. 已知恒成立，则t的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围.【详解】由，得，所以，即，即恒成立，构造函数，上式即为恒成立，因为，所以在R上单调递增，则可得恒成立，所以，即，再设，因为，所以当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以，从而，即t的取值范围是.故
10、答案为：【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 在中，（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余
11、弦定理可得，所以，的周长为.18. 已知.（1）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；（2）若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；（2）函数求导后，在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.【小问1详解】解：，在区间内单调递增在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在，则的取值范围是：.【小问2详解】解：在上存在单调递增区间，则在上有解，即在上有解，又，.则的取值范围是：.19.
12、已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且. 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 千件.【解析】【详解】试题分析：由年利润年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果解析： 当时，； 当时，. 故， 当时，由，得当时，单调递增；当时，单调
13、递减.故； 当时，当且仅当时，. 综合、知，当时，取最大值. 所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 20. 已知函数.（1）求函数在区间上的最值；（2）若，求的值.【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）【解析】【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；（2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得.【小问1详解】因为，又，所以，故，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为；【小问2详解】因为，所以，所以，所以.21. 在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答，在中，角A，B，C的
14、对边分别为a，b，c，且_（1）求角C；（2）若，求周长的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）选，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式等化简求得；选，由两角和与差的正弦公式变形求解；选，由垂直的向量表示得出边的关系，再由余弦定理求角；（2）由余弦定理得边关系后，结合基本不等式和三角形性质得周长范围【小问1详解】选：由正弦定理及，得，又，又，选：由，得，即，选：，化简得，【小问2详解】由余弦定理得，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立又，周长的取值范围为22. 已知曲线C：（1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；（2）当时，求在上的值域；（3）若，讨论的
15、零点个数【答案】（1） （2） （3）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；（2）由导数的正负确定单调性进而即得；（3）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数【小问1详解】依题意得，此时，则切线斜率为，故切线方程：，即；【小问2详解】当时，则，在上单调递减，又，故值域为【小问3详解】，令得，令得，令得减区间为，增区间为，当时，在上有且仅有一个零点当时，令，在上单调递增，即，又，在上有一个零点，又令，则，在上单调递减，在上有一个零点综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.【点睛】方法点睛：利用导数确定零点个数问题，方法是利用导数确定函数的单调性，得出函数的最值，然后确定最值的正负（有时需要再次引入新函数，由新函数的导数得出结论）同时确定某些函数值的正负，从而利用零点存在定理得出零点的个数第15页/共15页
