1、第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式2能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养2借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.合 作 探 究 释 疑 难 用奇偶性求解析式【例 1】(教材改编题)(1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当x0 时，f(x)x1，求 f(x)的解析式；(2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)1x1，求函数f(x)，g(x)的解析式思路点拨：(1)设x0
2、当x0fxx1 求fx 奇函数 得x0时fx的解析式 奇函数的性质f00分段函数fx的解析式(2)fxgx 1x1用x代式中x 得fxgx1x1 奇偶性 得fxgx 1x1解方程组得fx，gx的解析式 解(1)设 x0，f(x)(x)1x1，又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(x)f(x)x1，当 x0 时，f(x)x1.又 x0 时，f(0)0，所以 f(x)x1，x0.(2)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)由 f(x)g(x)1x1，用x 代替 x 得 f(x)g(x)1x1，f(x)g(x)1x1，()2，得 f(x)1x21；()2，得
3、g(x)xx21.1把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x0”改为“x0”，再求 f(x)的解析式解 设 x0，则x0，则 f(x)x1.又 f(x)f(x)，所以 f(x)x1.故 f(x)的解析式为 f(x)x1，x0，x1，x0.2把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式解 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又 f(x)g(x)1x1，用x 代替上式中的 x，得 f(x)g(x)1x1，即 f(x)g(x)1x1.联立得 f(x)xx21，g(x)
4、1x21.利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就设在那个区间.2要利用已知区间的解析式进行代入3利用 fx的奇偶性写出fx或 fx，从而解出 fx.提醒：若函数 fx的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f00，但若为偶函数，未必有 f00.函数单调性和奇偶性的综合问题探究问题1如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？提示：如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上单调递增；如果偶函数
5、 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上单调递增2你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反3若偶函数 f(x)在(，0)上单调递增，那么 f(3)和 f(2)的大小关系如何？若 f(a)f(b)，你能得到什么结论？提示：f(2)f(3)，若 f(a)f(b)，则|a|b|.角度一 比较大小问题【例 2】函数 yf(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)f52 f72 Bf72 f(1)f52Cf72 f52 f(1)Df52 f(1)
6、f72思路点拨：yfx2是偶函数 fx的图象关于x2对称 0，2上递增 比较大小 B 函数 f(x2)是偶函数，函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，f52 f32，f72 f12，又 f(x)在0,2上单调递增，f12 f(1)f32，即 f72 f(1)f52.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.跟进训练1设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时，f(x)是增函数，则 f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(
7、3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)A 由偶函数与单调性的关系知，若 x0，)时，f(x)是增函数，则 x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3)f(2)，故选 A.角度二 解不等式问题【例 3】已知定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围解 因为 f(x)在区间2,2上为奇函数，且在区间0,2上是减函数，所以 f(x)在2,2上为减函数 又 f(1m)m，即1m3，2m2，m12.解得1m12.故实数 m 的取值
8、范围是1m12.解有关奇函数 fx的不等式 fafb0，先将 fafb0 变形为 fafbfb，再利用 fx的单调性去掉“f”，化为关于 a，b 的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质 fxf|x|f|x|将 fgx中的 gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号 f，使不等式得解.跟进训练2.函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1 Ba1 或 a2D1a2C 因为函数 f(x)在实数集上是偶函数，且 f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数 f(x)在0
9、，)上是增函数，所以 31 或 a0 时的解析式与 xf(2)Bf(1)f(2)，故选 A.3定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b|D0ab0C f(x)是 R 上的偶函数，且在0，)上是增函数，由 f(a)f(b)可得|a|b|.4已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式解 f(x)g(x)x2x2，由 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2，又 f(x)g(x)x2x2，两式联立得 f(x)x22，g(x)x.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
