1、 河北唐山一中20132014学年度下学期期末考试高二数学文试题【试卷综评】此试卷继续保持试卷结构和题量不变，试题各部分难度适中，层次分明，区分度强，信度高，体现了试题测试功能。考查全面，重点突出，全面考查了学生“双基”，体现了数学教学的基本要求，对重点内容重点考查，符合考纲说明。突出了对数学思想方法的考查数学思想方法决定着数学基批知识教学的水平，培养数学能力，优化思维素养和数学基本技能的培养、能力的发展有十分重要的意义。也是考纲考查的重点。本试题考查了数形结合思想、化归转化思想、建模思想等数学思想与方法。重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧，试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只
2、要掌握基本方法，就能找到解题思路。第卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则下列关系中正确的是（ ） A B C D【知识点】集合的性质和应用; 交集及其运算【答案解析】B解析 ：解：,NM，MN=x|0x1，MN=x|x2014，故选B【思路点拨】根据集合M和集合N之间的关系，然后根据交集，并集的定义进行求解，最后进行判定即可2.已知是虚数单位，复数的模为（ ） A B C D【知识点】复数求模【答案解析】D解析 ：解：,故模为.【思路点拨】根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论3.若 ，
3、则的大小关系为()A. B. C. D【知识点】【答案解析】A解析 ：解：【思路点拨】【典型总结】4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（ ）A， B，C， D， 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系【答案解析】C解析 ：解：A若， ，则，故A错；B若，则，又，则，故B错；C若，则，又，则，故C正确；D若，设，由线面平行的性质得，若，则，故D错故选C【思路点拨】可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D5.已知数列为等差数列，公差，、成等比，则的
4、值为（ ） A B C D【知识点】等差数列与等比数列的通项公式.【答案解析】C解析 ：解：、成等比，a1a5，解得，故选：C【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出6.既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.【知识点】余弦函数的奇偶性和单调性【答案解析】B解析 ：解：由于函数和都是奇函数，故排除A、C由于函数是偶函数，周期等于，且在上是减函数，故满足条件由于函数是偶函数，周期等于，在上是减函数，在上是增函数，故不满足条件故选B【思路点拨】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论7如图（下左）给出的是计算的
5、值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）AB CD 【知识点】数列的求和；循环结构【答案解析】A解析 ：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S=，i=3，第三次循环：S=，i=5，依此类推，第1006次循环：S=，i=2011，退出循环其中判断框内应填入的条件是：故选A【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值8. 如图（上右），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为.则该组合体的表面积为()A15 B18C21 D24【知
6、识点】几何体的三视图;几何体的表面积的求法.【答案解析】C解析 ：解：由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱，上部为圆锥的几何体，所以几何体的表面积为：,故选C【思路点拨】由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱，上部为圆锥的几何体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可【典型总结】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A.2 B. 1+ C. D.1+【知识点】点到直线的距离公式.【答案解析】B解析 ：解：把圆的方程化为标准方程得：，所以圆心坐标为，圆的半径，所以圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距
7、离最大值为故选B.【思路点拨】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，求出即为所求的距离最大值10. 已知F2、F1是双曲线 - =1(a0，b0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D【知识点】双曲线的几何性质、离心率和渐近线；勾股定理【答案解析】C解析 ：解：由题意，F1（-c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，O
8、AF1M，F1MF2为直角，MF1F2为直角三角形，由勾股定理得，故选：C【思路点拨】.首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率11. 下列命题正确的个数是 ( )命题“”的否定是 “”；函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；在上恒成立在上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算【答案解析】B解析 ：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，（1）正确；（2）f（x）=cos2ax，最小正周期是 a
9、=1，（2）正确；（3）例a=2时，在上恒成立，而，（3）不正确；（4）时，（4）错误故选B【思路点拨】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确12.定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A B C D【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【答案解析】A解析 ：解：设则，在定义域上单调递增，又，故选：A【思路点拨】构造函数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.第卷：非选择题（90分）二、填空
10、题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值为_【知识点】简单线性规划【答案解析】4解析 ：解：根据题意作出不等式组表示的平面区域OAB，已知当目标函数z=2x+y对应的直线平移过A（1,2）点时，Z有最大值4【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=1且y=2时z取得最大值414.设是定义在上的奇函数，当时，则_【知识点】函数奇偶性的性质及其应用.【答案解析】-3解析 ：解：由f（x）为奇函数及已知表达式可，得故答案为-3【思路
11、点拨】利用奇函数性质把f（1）转化到已知范围内借助已知表达式可求15.从等腰直角的底边上任取一点，则为锐角三角形的概率为 ； 【知识点】几何概型.【答案解析】解析 ：解：是等腰直角三角形，为的中点，当位于时，为直角三角形，当位于线段上时，为锐角三角形，根据几何概型的概率公式可得为锐角三角形的概率为，故答案为：【思路点拨】根据为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论16.已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是 . 【知识点】函数的零点; 函数的性质及应用【答案解析】解析 ：解：当时，等价于：，解得，不成立；当时，等价于：，解得，；当时，等价于：，解得，不成立综上，a的
12、取值范围是-1，0故答案为：-1，0【思路点拨】分，三种情况进行分类讨论，由此能求出a的取值范围三.解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy+4=0，曲线C的参数方程为（为参数）（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程【答案解析】（1）直线l的方程xy+4=0
13、，点P在直线l上；（2）解析 ：解：（1）把极坐标系下的点（4，）化为直角坐标，得P（0，4）因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程xy+4=0，所以点P在直线l上（5分）（2）设点Q的坐标为（cos，sin），则点Q到直线l的距离为d=cos（）+2由此得，当cos（）=1时，d取得最小值，且最小值为10分【思路点拨】（1）先利用点的极坐标和直角坐标的互化公式，把极坐标系下的点（4，）化为直角坐标，再在直角坐标系下判断点P与直线l的位置关系；（II）根据曲线C的参数方程，设点Q的坐标为（cos，sin），再利用点到直线的距离公式求出点Q到直线l的距离，最后利用三角函数的性质即可求得d的
14、最小值18. （本小题满分12分）已知向量，若函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值及相应的值；（3）若，求的单调递减区间.【知识点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性【答案解析】(1) （2）（3）解析 ：解： =(1) 的最小正周期为；（2）当时，当，即时，取得最大值；（3）当时，由的图象知，在区间上单调递减，而，解得的单调递减区间为【思路点拨】（1）根据向量的数量积和三角函数的恒等变形即可化为，再根据求周期的公式即可求出；（2）根据x的取值范围求出的范围，求出使取得最大值的的值，即使函数取得最大值的的值；（3）根据函数的图象知，在区间上单调递减，只要把中的看做一个整体求出即
15、可19.（本小题满分12分）在等差数列an和等比数列bn中，a1b11，b48，an的前10项和S1055.(1)求an和bn；(2)现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率【知识点】等差数列与等比数列的综合;列举法计算基本事件数及事件发生的概率【答案解析】(1) ann，bn2n1. (2) P解析 ：解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q.依题意得S1010d55，b4q38， 2分解得d1，q2， 4分所以ann，bn2n1. 6分(2)分别从an，bn的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，
16、(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)8分符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2) 10分故所求的概率P. 12分【思路点拨】(1)先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；(2)先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论20.（本小题满分12分）如图所示，矩形中，平面，为上的点，且平面（）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积。【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【答案解析】（1）见解析（2）见解析（3）解析 ：解：（1）证明：平面，平面，则 2分又平面
17、，则平面 4分（2）由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点 6分在中，平面 8分（3）平面，而平面，平面是中点，是中点，且， 9分平面，中， 10分 11分 12分【思路点拨】（1）根据AD平面ABE，ADBC可得BC平面ABE，根据线面垂直的性质可知AEBC，根据BF平面ACE，则AEBF，而BCBF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论；（2）根据G是AC的中点，连接FG，而BF平面ACE，根据线面垂直的性质可知CEBF，而BC=BE，从而F是EC的中点，根据中位线定理可知FGAE，而FG平面BFD，AE平面BFD，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（3）根据AEBE，AEB
18、F，BEBF=B，满足线面垂直的判定定理可得AE平面BCE，而AEFG则FG平面BCF，从而FG为三棱锥G-BCF的高，然后求出三角形BCF的面积，根据三棱锥的体积公式解之即可21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【答案解析】（1）（2）k=解析 ：解：（1）因为e=,b=1,所以a=2,故椭圆方程为.4分（2）设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).联立 ，解得 (1+4k2)x2+8kx=0, 7分因为直线l
19、与椭圆C相交于两点，所以=(8k)20,所以x1+x2=，x1x2=0， 点M在椭圆上，则m2+4n2=4,化简得 x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, 10分4k()+4=0,解得k=.故直线l的斜率k=.12分【思路点拨】（1）利用离心率计算公式e，b=1，及a2=1+c2，即可解得a（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知，即可表示出点M的坐标，代入椭圆方程即可得出k22（本题满分12分）定义在实数集上的函数。求函数的图象在处的切线方程;若对任意的恒成立，求实数m的取值范围。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【答案解析】 解析 ：解：,当时，所求切线方程为。4分令当时，；当时，；当时，；要使恒成立，即.由上知的最大值在或取得.而实数m的取值范围。12分【思路点拨】（1）求切线方程，就是求k=f（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）-f（x），要使f（x）g（x）恒成立，即h（x）max0，转化为求最值问题
