1、 文科数学试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（ ）A B C D2.已知函数，则（ ）A B9 C D3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ）A7 B35 C25 D 154.变量与相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量与相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），
2、（12.5,2），（13,1），表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则（ ）A B C. D5.等差数列中，则（ ）A15 B30 C.31 D646.函数在区间（0,1）内的零点个数是（ ）A0 B1 C.2 D37.设向量满足，则（ ）A2 B4 C.5 D18.已知在函数的图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆上，则的最小正周期为（ ）A1 B2 C. 3 D49.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D10.如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A B C. D11.若变量，满足条件，则的最大值为（
3、）A1 B2 C.3 D412.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A.4 B3 C.9 D1613.已知函数，若，互不相等，且，则的取值范围是（ ）A.（10,12） B.（5,6） C.（1,10） D.（20,24）第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14.若不等式的解集为，则_.15.已知锐角终边上一点，则的值为_.16.已知点在直线上，那么的最小值为_.17.在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值是_.三、解答题 （本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题10分）从一条生产线上每隔30分
4、钟取一件产品，共取了件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在内的频数为92.（）求的值；（）求尺寸在内产品的个数；（）估计尺寸大于25的频率.19. （本小题12分）已知函数.（1）当时，求函数的取值范围；（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.20. （本小题12分）设是公差大于零的等差数列，已知，.（）求的通项公式；（）设是以函数的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前项和.21. （本小题12分）在中，角，所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.22.（本小题满分12分）为数列的前项和，已知，且.（1）求证：为等
5、差数列；（2）设，求数列的前项和.23. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.（）证明：平面平面；（）若平面，求三棱锥的体积.24.（本小题12分）如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点.（）当与垂直时，求证：过圆心；（）当时，求直线的方程；（）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.答案详解部分1【答案】C【解题过程】本题考查集合的混合运算.解答本题时要注意利用集合的补集运算及并集运算求值.因为 ，所以 .故选C. 2【答案】B【解题过程】本题考查分段函数求值.解答本题时要注意先求 的
6、值，再求结论.因为 ，所以 =9.故选B. 3【答案】D【解题过程】本题考查分层抽样.解答本题时要注意利用抽样过程中每位职工被抽到的可能性相等的原则求值计算.由题可得，设样本容量为n，则 ，解得n=15.故选D. 4【答案】C【解题过程】本题考查两个变量之间的线性相关性.解答本题时要注意根据给出的数据先计算平均数，然后计算得到相关系数，再进行判断.因为变量 与 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，所以 ， 。所以这组数据的相关系数为 .变量 与 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，
7、(13,1).所以 ，所以这组数据的相关系数是 ,所以这一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零.故选C. 5【答案】A【解题过程】本题考查等差数列.解答本题时要注意根据条件求出等差数列的通项公式，然后利用等差数列的通项公式或等差数列的性质计算得到 的值.因为 ，所以可得 ，所以 故选A. 6【答案】B【解题过程】本题考查函数的零点.解答本题时要注意根据函数的单调性及零点存在定理通过判断区间端点函数值的正负进行判断.因为 是单调递增函数，且 .所以函数在该区间的零点个数为1个.故选B. 7【答案】C【解题过程】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用向量垂直及数量积运算性
8、质进行求值计算.因为 ，所以 .因为 ， ， ，所以 .故选C. 8【答案】D【解题过程】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意三角函数图象与圆的交点确定函数的周期.因为函数 的最大值为 ，最小值为 .所以满足 .即函数 的最高点为 ，所以有 ，即 所以 .故选D. 9【答案】B【解题过程】本题考查看见几何体的表面积问题.解答本题时要注意根据给出的三视图确定几何体的结构特征，然后选用恰当的表面积计算方法求得几何体的表面积.由题可得，结合三视图的特点可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥后的组合体.所以该几何体的表面积为 .故选B. 10【答案】A【解题过程】本题考查程序框图.解答本题时要
9、注意根据题中的循环结构的程序框图以及给出的算法原理确定判断框的内容.由题可得，本题需要进行5次运算，且给出的是满足条件即跳出循环，故可知在判断框中需要填入的条件为 .故选A. 11【答案】C【解题过程】本题考查简单的线性规划.解答本题时要注意先根据条件确定不等式组表示的平面区域，然后通过平行原理在区域内确定目标函数取到最大值时的最优解，最后带入求得最大值.如图所示，不等式组表示的平面区域如图，由 可得 .由图可知，当直线 经过点 时， 最大，且最大值为 .故选B. 12【答案】D【解题过程】本题考查基本不等式应用.解答本题时要注意利用参变分离原则及基本不等式原理求得参数的最大值.因为 恒成立可
10、转化为 恒成立.因为 .当且仅当 ，即a=b时取到等号.所以 .故选D. 13【答案】A【解题过程】本题考查函数与方程.解答本题时要注意画出函数的图象，结合 确定 的范围，以此确定结论.由题可得，作出如图的函数 的图象，不妨设 ，则 .所以有 ，则 .故选A. 14【答案】2【解题过程】本题考查一元二次不等式的解法.解答本题时要注意三个二次之间的关系，能够化不等式为相应的方程，通过方程有解解决问题.由题可得，不等式相应的方程为 ，其根为 .由根与系数的关系可知， ，解得 . 15【答案】【解题过程】本题考查任意角的三角函数.解答本题时要注意根据三角函数的定义，结合点坐标，确定角 .因为锐角 终
11、边上一点 ，所以 .所以 . 16【答案】5【解题过程】本题考查点到直线的距离公式.解答本题时要注意根据条件将问题转化为点到直线的距离进行求解. 可以看成是坐标原点(0,0)到点(x,y)的距离的平方.因为点 在直线 上，所以 的最小值即为坐标原点到直线的距离的平方.所以 。 17【答案】【解题过程】本题考查空间几何体有关折叠问题.解答本题时要注意能够将几何体的表面展开至同一平面内，然后利用解三角形原理求得线段和的最小值.连接 ,沿 将 展开与 在同一平面内，如图所示，连接 ，则 长度就是所求的最小值. 中， ， , .所以由余弦定理可得 . 18【解题过程】()尺寸在 内的频数为92，由频率
12、分布直方图，得 ，解得 .()由频率分布直方图，得尺寸在 内产品的频率为0.045=0.2，尺寸在20,25内产品的个数为0.2100=20()根据频率分布直方图，估计尺寸大于25的频率为【备注】本题考查统计.解答本题时要注意(1)根据频率分布直方图计算得到n的值；(2)利用频率计算得到尺寸在20,25内产品的个数；(3)根据频率分布直方图估算得到尺寸大于25的频率. 19【解题过程】(1) ， 时， ， .函数 的取值范围为： .(2) ，令 ， ，即可解得 的单调递增区间为： ， .【备注】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先利用三角恒等变换化简函数，然后(1)利用整体代换的方
13、式求得函数在给定区间的值域；(2)利用函数图象的平移变换得到 的解析式，然后利用整体代换计算得到 的单调递增区间. 20【解题过程】()设 的公差为 ，则 解得 或 舍)，所以 .() ，其最小正周期为 ，故首项为1；因为公比为3，从而 ，所以 ，故 ， .【备注】本题考查等差数列、等比数列.解答本题时要注意(1)利用等差数列的基本量，结合条件求得基本量，表示得到等差数列的通项公式；(2)先得到等比数列的首项，然后确定其通项公式，再表示 ，最后利用分组求和的方法求得数列的前 项和 . 21【解题过程】(1)由已知得 ，即有 .因为 ，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 .(2)由余弦定理，有 .
14、因为 ， ，有 .又 ，于是有 ，即有 .【备注】本题考查解三角形应用.解答本题时要注意(1)利用三角形三内角之间的关系，结合三角恒等变换，得到关于角B的方程，通过解方程得到角B的值；(2)利用余弦定理，结合角 的范围，确定角 的取值范围. 22【解题过程】(1)证明：由 ，可得 ，-得 ，即 ， ， ，即 ， 为等差数列.(2)解：由已知得 ，即 ，解得 舍)或 ， ， ，数列 的前 项和 .【备注】本题考查等差数列的证明及裂项相消法求数列的和.解答本题时要注意(1)根据题中所给的数列递推关系式，结合 ，得到 ，进而证明得到数列是等差数列；(2)通过数列 的通项公式，表示 ，并裂项.然后利用
15、裂项相消法求得数列 的前 项和. 23【解题过程】()证明： 平面 ， 平面 ， .四边形 是菱形， ，又 ， 平面 .而 平面 ，平面 平面 .() 平面 ，平面 平面 ， ， 是 中点， 是 中点.取 中点 ，连结 ，四边形 是菱形， ， ，又 ， ， 平面 ， .【备注】本题考查平面与平面垂直的证明及求几何体的体积.解答本题时要注意(1)利用直线与平面垂直的定义，得到直线与直线垂直，然后结合直线与平面垂直的判定得到直线与平面垂直，进而证明得到平面与平面垂直；(2)通过直线与平面平行，确定点的位置，得到几何体相关线段的长度，然后利用三棱锥的体积公式计算得到几何体的体积. 24【解题过程】(
16、)由已知 ，故 ，所以直线 的方程为 .将圆心 代入方程易知 过圆心 .()当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意；当直线与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，由于 ，所以 ，由 ，解得 .故直线 的方程为 或 .()当 与 轴垂直时，易得 ， ，又 ，则 ， ，故 ,即 .当 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入圆的方程得 ，则 . ，即 ， .又由 得 ，则 .故 ，综上， 的值为定值，且 .另解一：连结 ，延长交 于点 ，由()知 ，又 于 ，故 .于是有 .由 ， ，得 .故 .另解二：连结 并延长交直线 于点 ，连结 ， ，由()知 ，又 ，所以四点 都在以 为直径的圆上，由相交弦定理得 .【备注】本题考查直线与圆的位置关系.解答本题时要注意(1)利用直线垂直，确定直线 的方程，以此判断圆心与直线地方位置关系；(2)结合弦长，利用圆心到直线的距离与半弦长、半径构成勾股定理，以此确定直线的斜率，并表示得到直线方程；(3)通过将直线方程与圆方程进行联立，结合根与系数的关系，利用向量数量积的坐标表示，建立方程，化简得到定值.
