1、第二节简单几何体的表面积和体积 选题明细表知识点、方法题号几何体的侧面积与表面积10几何体的体积1,2,3,5,6与球有关的面积、体积问题7,8,12综合问题4,9,11,13,14,15一、选择题1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(B)(A)(B)(C)1(D)解析:由三视图知,几何体右边是三棱锥,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V1=111=;左边为直三棱柱,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V2=111=.所以该几何体的体积为V=V1+V2=+=.故选B.2.若某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积
2、是(B)(A)2(B) (C)3 (D)3解析:由题中三视图得直观图如图,即四棱锥高为,底面为梯形,其面积为=3,所以四棱锥体积为3=.故选B.3.(2018浙江嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位:m),则该几何体的体积是(A)(A) m3(B) m3(C)2 m3(D)4 m3解析:由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=21=1(m2),棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=Sh=12=(m3),故选A.4.(2018全国卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视
3、图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)2(B)2 (C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=16=4,OM=2,所以|MN|=2.故选B.5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记录求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了圆锥底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h,
4、它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取值为(B)(A) (B) (C) (D)解析:圆锥的体积公式V=R2h,又L=2R,故R=,所以V=()2h=L2h,由题设,所以,故选B.6.(2019绍兴模拟)一个几何体的三视图及尺寸如图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为(A)(A) (B) (C)4 (D)8解析:根据几何体的三视图,得该几何体是平放的半圆锥体,且半圆锥体的底面半径为2,高为4,所以该半圆锥体的体积为V=224=.所以A选项是正确的.7.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的
5、球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(C) (A)(B)2(C) (D)3解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,解得a=,此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,故截面面积的最小值为.故选C.8.(2019暨阳联考)在阿基米德的墓碑上刻着一幅“圆柱容球”的几何图形,它的三视图如图所示,记球的体积为V1,圆柱的体积为V2,球的表面积为S1,圆柱的全面积为S2,则下列结论正确的是(B)(A)V1=V2,S1=S2(B)V=V2,S1=S2(C)V1=V2,S1=S2(D)
6、V1=V2,S1=S2解析:根据三视图,画出几何体的直观图如图所示,设球的半径为R,则圆柱体的底面半径为R,高为2R,所以球的体积为V1=R3,圆柱的体积为V2=R22R=2R3,球的表面积为S1=4R2,圆柱的全面积为S2=2R2R+2R2=6R2,所以V1=V2,S1=S2.故选B.二、填空题9.有一根长为3 cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3 cm,AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故
7、线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=5(cm),故铁丝的最短长度为5 cm.答案:510.(2019金华十校模拟)某几何体的三视图如图所示,正视图为腰长为1的等腰直角三角形,侧视图、俯视图均为边长为1的正方形,则该几何体的表面积是 ,体积是.解析:由三视图在棱长为1的正方体内画出该几何体为多面体ABCHE,其可以看作是由棱长为1的正方体截去一个直三棱柱BEF-CHG和三棱锥H-ACD后剩余的部分,则其体积为1-111-111=,表面积为311+1+()2=+.答案:+11.(2019湖州三校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm3,表面积为 cm2.解析:根
8、据题意,图中几何体是从棱长为2 cm的正方体中去掉一个高为2 cm、底面是正方形且边长为2 cm的正四棱锥后的几何体,该几何体体积为222-2(22)=(cm3)因去掉的正四棱锥的侧面底边上的高为=(cm),则该几何体表面积为5(22)+4(2)=(20+4)(cm2).答案:(20+4)12.如图,在四面体ABCD中,AB平面BCD,底面BCD是边长为6的等边三角形.若AB=4,则四面体ABCD的外接球的表面积为.解析:将此三棱锥补成正三棱柱,则其外接球的球心O和正三棱柱的中心重合,BCD的外接圆的半径为 2,O到平面BCD的距离为2,从而球的半径R=4,球的表面积S=4R2=64.答案:6
9、413.如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD体积的最大值是.解析:设PD=DA=x,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120,所以AC=2,所以CD=2-x,且ACB=(180-120)=30,所以SBCD=BCDCsinACB=2(2-x)=(2-x).要使四面体体积最大,当且仅当点P到平面BCD的距离最大,而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD=(2-x)x=-(x-)2+3,由于0x2,故当x=时,V四面体PBCD取最大值为3=.答案:三、解答题14.如图,已知某几何体的三视图
10、如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体ABCD-A1B1C1D1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1= cm,A1D1=AD=2 cm,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=(22+4)(cm2),体积V=23+()22=10(cm3).15.如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体D-ABC的体积.(1)证明:在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故ACBC.又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,所以BC平面ACD.(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥B-ACD的高,BC=2,SACD=2,所以=SACDBC=22=.
