1、第二节平面向量基本定理及坐标运算 选题明细表知识点、方法题号基本定理的概念理解4基本定理的应用1,10,14坐标运算2,5,9,11综合问题3,6,7,8,12,13,15,16一、选择题1.在ABC中,点D为边AB的中点,则向量等于(A)(A)+(B)-(C)-+(D)-解析:由向量的加法减法的三角形法则知=+=+=+(-)=+.故选A.2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则等于(B)(A)(B)(C)1(D)2解析:因为(a+b)c,a+b=(1+,2),c=(3,4),所以4(1+)-6=0,得=.故选B.3.在四边形ABCD中,=(1,2
2、),=(-4,2),则该四边形的面积为(C)(A)(B)2(C)5(D)10解析:因为=(1,2)(-4,2)=1(-4)+22=0,所以,又|=,|=2,所以S四边形ABCD=|=2=5.故选C.4.如图,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:与;与;与;与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:与不共线,与不共线,而与共线,与共线,由平面向量基底的概念知可作为该平面内其他向量的基底.故选B.5.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为(D)(A)(-,5)(B)(,5)(C)(,-5)(
3、D)(-,-5)解析:=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10).所以=(,5),所以=(-,-5).故选D.6.设ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有,则(D)(A)ABC=90(B)BAC=90(C)AB=AC (D)AC=BC解析:设AB=4,以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,不妨令A(-2,0),B(2,0),则P0(1,0),设C(a,b),P(x,0),所以=(2-x,0),=(a-x,b).=(1,0),=(a-1,b).则(2-x)(a-x)a-1恒成立,即x2-(2+a)x+a+10恒成立.所以=(2+a)2-4(a+1)
4、=a20恒成立.所以a=0.即点C在线段AB的中垂线上,所以AC=BC.故选D.7.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P是对角线AC上一点,=,过点P的直线分别交DA的延长线、AB,DC于点M,E,N.若=m,=n(m0,n0),则2m+3n的最小值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为=,所以=+,设=x+y(x,yR),则x+y=1,所以=mx+yn,所以mx=,ny=,所以+=1,因此2m+3n=(2m+3n)(+)=(12+)(12+2)=,当且仅当2m=3n,即m=,n=时取等号,故选C.二、填空题8.(2019温州5月模考)已知平面向量a,b,c满足:ab=0,|c|
5、=1,|a-c|=|b-c|=5,则|a-b|的最小值为.解析:可以采用坐标法,设c=(cos ,sin ),a=(m,0),b=(0,n),则m4,6,n4,6,所以a-c=(m-cos ,-sin ),b-c=(-cos ,n-sin ),因为|a-c|=|b-c|=5,所以m2-2mcos +1=25,n2-2nsin +1=25,两式相加得m2+n2=2mcos +2nsin +48,|a-b|=|(a-c)-(b-c)|=,当且仅当m=n=3时取到,所以|a-b|的最小值为6答案:69.已知向量a=(1,2),b=(x,-3),若满足ab,则x=,若满足ab,则x=.解析:由坐标运算
6、知,当ab时,=得x=-,当ab时,1x+(-3)2=0.得x=6.答案:-610.如图,在ABC中,=,=,若=+,则=,=.解析:由题意知=+=+=+(-)=+=+.所以=,=.答案:11.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.解析:=(1,2),=(k,k+1).由题知与不共线,所以1(k+1)-2k0,解得k1.答案:k112.在ABC中,AC=6,BC=7,cos A=,O是ABC的内心,若=+,其中0x1,0y1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为.解析:由=+,其中0x1,0y1,可得点P的轨迹为如图的阴影部
7、分,在ABC中,由余弦定理可得AB=5,所以SABC=ABACsin A=56=6.又由SABC=OE(AB+AC+BC),所以OE=.所以阴影部分面积S=25=.答案:13.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,yR,则x+y的最大值为;最小值为.解析:以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B(-,),设AOC=(0,),则C(cos ,sin ),由=x+y,得所以x=cos +sin ,y=sin ,x+y=cos +sin =2sin(+),又0,所以当=时,x+y取得最大值2;当
8、=0或时,x+y取得最小值1.答案:21三、解答题14.如图,已知OCB中,A为BC的中点,D是将分为21两部分的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,;(2)若=,求实数的值.解:(1)由题意知=.因为A为BC的中点,所以由平行四边形法则得+=2.所以=2-=2a-b,=-=(2a-b)-b=2a-b.(2)因为,且=-=(2a-b)-a=(2-)a-b,=2a-b,所以=,所以=.15.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若+=0,求|;(2)设=m+n(m,nR),用
9、x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解:(1)法一+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),因为+=0,所以解得x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.法二因为+=0,即(-)+(-)+(-)=0,所以=(+)=(2,2),所以|=2.(2)因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.16.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a0,b0.(1)若O为坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解:(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以=,即(a,0)=(2,2-b),所以a=2,b=2.(2)=(-a,b),=(2,2-b),因为A,B,C三点共线,所以-a(2-b)=2b,即2(a+b)=ab,因为a0,b0,所以2(a+b)=ab()2,解得a+b8,当且仅当a=b=4时取等号.所以a+b的最小值为8.
