1、第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础题组练1已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析：选A.由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正态曲线关于x2对称，则P(0)P(4)0.2，所以P(04)1P(0)P(4)0.6.2口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A. BC2 D解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X2)，P(X3)，所以EX23.3(2
2、020河南焦作一模)设XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若XN(，2)，则P(X)0.682 7)A7 539 B6 038C7 028 D6 587解析：选D.因为XN(1，1)，所以1，1，2，0，因为P(X)0.682 7，所以P(0X2)0.682 7，则P(1X2)0.341 35，所以阴影部分的面积为10.341 350.658 65，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587.4已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E，D分别是
3、()A6，2.4 B2，2.4C2，5.6 D6，5.6解析：选B.由已知随机变量X8，所以8X.因此，求得E8EX8100.62，D(1)2DX100.60.42.4.5某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 BC2 D解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，则P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3).所以随机变量X的分布
4、列为X0123P数学期望EX0123.6若随机变量的分布列如下表所示，E1.6，则ab_0123P0.1ab0.1解析：易知a，b0，1，由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E()00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.答案：0.27已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98，104内的产品估计有_件(附：若X服从N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X20.954 5)解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x100，且2，则质量在96，104内
5、的产品的概率为P(2X2)0.954 5，而质量在98，102内的产品的概率为P(X1，则k7.35，P(Xk1)P(Xk)；若t7.35，P(Xk1)P(Xk)所以当k7时，P(Xk)最大，即当P(Xk)最大时，k7.2(2020云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7p0.9)(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及EX；(2)将(1)中的EX取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率该农户
6、决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活求一棵B种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，则P(X0)0.2(1p)2，P(X1)0.8(1p)20.2Cp(1p)0.8(1p)20.4p(1p)0.4p21.2p0.8，P(X2)0.2p20.8Cp(1p)0.2p21.6p(1p)1.4p21.6p，P(X3)0.8p2.X的分布列为X0123P0.2
7、p20.4p0.20.4p21.2p0.81.4p21.6p0.8p2所以E X1(0.4p21.2p0.8)2(1.4p21.6p)30.8p22p0.8.(2)当p0.9时，E X取得最大值一棵B树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96.记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则YB(n，0.96)，E Y0.96n，M(n)300Y50(nY)350Y50n，E(M(n)350E Y50n286n，要使E(M(n)200 000，则有n699.3.所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元3(2019高考全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、
8、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋
9、予4分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为i时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.()证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解：(1)X的所有可能取值为1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为(2)()证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)为公比为4，首项为p1的等比数列()由()可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理
