1、第3讲 二项式定理 基础题组练1.的展开式中的常数项为()A3 B3C6 D6解析：选D.通项Tr1C(x4)rC()3r(1)rx66r，当66r0，即r1时为常数项，T26，故选D.2(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中x4的系数为()A50 B55C45 D60解析：选B.(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中x4的系数是CCC55.故选B.3(2020四川成都实验外国语学校二诊)已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n()A4 B5C6 D7解析：选C.二项式的各项系数的和为(13)n4n，二项式的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式
2、系数的和之比为64，所以2n64，n6.故选C.4在(1x)5(2x1)的展开式中，含x4项的系数为()A5 B15C25 D25解析：选B.因为(1x)5(x)55x4C(x)3，所以在(1x)5(2x1)的展开式中，含x4项的系数为52C15.故选B.51(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为()A2n1 B2n1C2n11 D2n解析：选C.令x1，得12222n2n11.6(2020湖南岳阳二模)将多项式a6x6a5x5a1xa0分解因式得(x2)(x2)5，则a5()A8 B10C12 D1解析：选A.(x2)(x2)5(x24)(x2)4，所以(x2)4的展开式中x3
3、的系数为C218，所以a58.故选A.7(x22)展开式中的常数项是()A12 B12C8 D8解析：选B.展开式的通项公式为Tr1C(1)r(1)rCxr5，当r52或r50，即r3或r5时，展开式的常数项是(1)3C2(1)5C12.故选B.8.展开式中的常数项为()A1 B21C31 D51解析：选D.因为C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)1C.所以展开式中的常数项为CC15CC13CC1251.故选D.9已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|()A1 B243C121 D122解析：选B.令x1，得a5a4a3a2a1
4、a01，令x1，得a5a4a3a2a1a0243，得2(a4a2a0)242，即a4a2a0121.，得2(a5a3a1)244，即a5a3a1122.所以|a0|a1|a5|122121243.故选B.10(2020海口调研)若(x2a)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. BC1 D2解析：选D.由题意得的展开式的通项公式是Tk1Cx10kCx102k，的展开式中含x4(当k3时)，x6(当k2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2，故选D.11若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于()A2n BC2n1 D解析
5、：选D.设f(x)(1xx2)n，则f(1)3na0a1a2a2n，f(1)1a0a1a2a3a2n，由得2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)，所以a0a2a4a2n.12已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为()A39 B310C311 D312解析：选D.对(x2)9 a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a6
6、8a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选D.13(xy)4的展开式中，x3y3项的系数为_解析：二项展开式的通项是Tk1C(x)4k(y)k(1)kCx4y2，令423，解得k2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.答案：614.(x0)的展开式中的常数项为_解析：(x0)可化为，因而Tr1C()102r，令102r0，则r5，故展开式中的常数项为C.答案：15设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m_解析：(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以aC.同
7、理，bC.因为13a7b，所以13C7C.所以137.所以m6.答案：6综合题组练1已知C4C42C43C(1)n4nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：选C.因为C4C42C43C(1)n4nC729，所以(14)n36，所以n6，因此CCC2n126163，故选C.2设aZ，且0a13，若512 018a能被13整除，则a()A0 B1C11 D12解析：选D.512 018a(521)2 018aC522 018C522 017C52(1)2 017C(1)2 018a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2 018a能被13整除，即a1能被13整除，所以a
8、12.3已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN+)是一个单调递增数列，则k的最大值是_解析：由二项式定理知，anC(n1，2，3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.答案：64设a2x dx，则二项式的展开式中的常数项为_解析：a2x dxx21，则二项式，其展开式的通项公式为Tr1C(x2)6r(1)rCx123r，令123r0，解得r4.所以常数项为(1)4C15.答案：155已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6
9、；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)因为a0C1，所以a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)因为(12x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.6已知的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2CCC，解得n8(n1舍去)(2)的展开式的通项Tr1C()8r2rCx4 (r0，1，8)，要求有理项，则4必为整数，即r0，4，8，共3项，这3项分别是T1x4，T5x，T9.(3)设第r1项的系数为ar1最大，则ar12rC，则1，1，解得2r3.当r2时，a322C7，当r3时，a423C7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T37x，T47x.
