1、第一讲空间几何体的结构、表面积和体积1.2021合肥市调研检测表面积为324的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14,则这个正四棱柱的表面积等于()A.567B.576C.240D.492.2021安徽省四校联考在三棱锥A-BCD中,ABC和BCD都是边长为2的正三角形,当三棱锥A-BCD的表面积最大时,其内切球的半径是()A.22-6B.2-3C.2D.663.2020全国卷,5分已知ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.324.2021安徽省示范高中联考蹴鞠(如图8-1-1所示),
2、又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等,“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD=14 cm,BD=AC=8 cm,AD=BC=12 cm,则该“鞠”的表面积为()图8-1-1A.202 cm2 B.1012023 cm2C.101202 cm2 D.2023 cm25.2021湖南六校联考 如图8-1-2,以棱长为1的正方体的顶点A为球心,以2为半径
3、作一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧的长之和为()图8-1-2A.34 B.2 C.32 D.946.2020成都市高三模拟若矩形ABCD的对角线交点为O,周长为410,四个顶点都在球O的表面上,且OO=3,则球O的表面积的最小值为()A.3223 B.6423 C.32D.487.2020济南市5月模拟多选题已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为3,A,B为底面圆周上的两个不同的动点,则下列说法正确的是()A.圆锥的高为1B.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为68.2021南昌市模拟已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等
4、腰直角三角形,则该圆锥的侧面面积为.9.2021南昌市高三测试如图8-1-3所示,圆台内接于球,已知圆台上、下底面圆的半径分别为3和4,圆台的高为7,则该球的表面积为.图8-1-310.2021河南省名校第一次联考已知P,A,B,C是半径为3的球面上的四点,其中PA过球心,AB=BC=2,AC=23,则三棱锥P-ABC的体积是.11.2021合肥市调研检测如图8-1-4,在ABC中,CA=CB=3,AB=3,D为AB的中点,点F是BC边上异于点B,C的一个动点,EFAB,垂足为E.现沿EF将BEF折起到PEF的位置,使PEAC,则四棱锥P-ACFE的体积的最大值为.图8-1-412.2021河
5、北六校第一次联考唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图8-1-5(1)所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图8-1-5(2)所示.已知球的半径为R,酒杯内壁表面积为143R2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1,下部分(半球)的体积为V2,则V1V2=图8-1-5A.2 B.32 C.1 D.3413.2020陕西省百校联考四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA底面ABCD,异面直线AC与PD所成的角的余弦值为105,则四棱锥的外接球的表面积为()A.48B.12C.36D.9
6、14.2020洛阳市联考已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足BA=BC=6,ABC=2,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为()A.8B.16C.163D.32315.2020合肥市模拟若圆锥SO1,SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为4,42,则这两个圆锥重合部分的体积为()A.83B.8C.563D.56+163316.2020青岛市质检多选题如图8-1-6,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=DD1=2,则下列说法正确的是()图8-1-
7、6A.该四棱台的高为3B.AA1CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为1617.多选题在三棱锥P-ABC中,ABBC,P在底面ABC上的投影为AC的中点D,DP=DC=1.则下列结论正确的是()A.三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等B.PAB的取值范围是(4,2)C.若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上,则球O的体积为23D.若AB=BC,E是线段PC上一动点,则DE+BE的最小值为6+2218.2021湖南四校联考已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影O为ABC的垂心,若SABCSOBC=SPBC2,且三棱锥P-ABC的外接球半径为3,则SPAB+SPBC+SPAC的最
8、大值为.19.2021黑龙江省六校阶段联考正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球O的半径为2,当该正四棱柱的侧面积最大时,一个质点从A出发移动到C1,则沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球O内部移动的最短距离的比值是.20.2020惠州市二调双空题已知底面边长为a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点均在球O1上,又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切,则球O1与球O2的半径之比为,表面积之比为.21.条件创新将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形,其中小扇形的圆心角为3,则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为()A.21B.708 C.41 D.327022.
9、条件创新已知在三棱锥P-ABC中,ABC的内切圆圆O的半径为2,PO平面ABC,且三棱锥P-ABC的三个侧面与底面所成角都为60,则该三棱锥的内切球的体积为()A.32327B.8327C.163D.4323. 多选题九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图8-1-7,在鳖臑P-ABC中,PA平面ABC,ABBC,且AB=2.若鳖臑P-ABC外接球的体积为36,则当该鳖臑的体积最大时,下列说法正确的是 ()图8-1-7A.PA=4B.BC=4C.该鳖臑体积的最大值为83D.该鳖臑的表面积为8+8524.2021云南省部分学校统一检测探索创新已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高
10、为332,在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体,并且正四面体在圆锥内可以任意转动,则a的最大值为.25.生活实践 在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子.某雕刻师计划在底面边长为2 m,高为4 m的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体(如图8-1-8所示),其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重kg.(其中3.14,石料的密度=2.4 g/cm3,质量m=V,V为体积)图8-1-8答 案第一讲空间几何体的结构、表面积和体积1.B设球的半径为R,由题意知4R
11、2=324,解得R=9.如图D 8-1-11为过球心O和底面对角线的正四棱柱的截面,OOAC,可知OO=7,OC=9,则OC=92-72=42,于是正四棱柱的底面对角线长为82,则底面边长为8,所以正四棱柱的表面积S=882+4814=576,故选B.图D 8-1-112.A三棱锥A-BCD的表面积S=23+SABD+SACD=23+4sinABD,故当ABBD时,Smax=4+23,如图D 8-1-12,过A作BC的垂线,垂足为E,连接ED,易知BC平面AED,则SAED=2,VA-BCD=VB-AED+VC-AED=1322=223,设内切球半径为r,则VA-BCD=13Sr,可得r=22
12、-6.图D 8-1-123.C由等边三角形ABC的面积为934,得34AB2=934,得AB=3,则ABC的外接圆半径r=2332AB=33AB=3.设球的半径为R,则由球的表面积为16,得4R2=16,得R=2,则球心O到平面ABC的距离d=R2-r2=1,故选C.4.A因为AB=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把A,B,C,D四点放到长方体的四个顶点上,则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径.设该长方体的长、宽、高分别为x,y,z,“鞠”的半径为R,则(2R)2=x2+y2+z2.由题意可取x2+y2=196,x2+z2=144,y2+z2=64,所以R2=1012,所以“鞠”的表面积
13、S=4R2=202 (cm2).故选A.5.C正方体的表面被该球面所截得的弧是相等的三部分,如图D 8-1-13所示,上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心,1为半径的圆的周长的14,所以所求弧的长之和为324=32.故选C.图D 8-1-136.C由题意,知矩形ABCD所在的圆面为球O的一个截面.因为O为矩形ABCD的对角线的交点,所以OO所在直线垂直于矩形ABCD所在的圆面.因为矩形ABCD的周长为410,所以BC+CD=210.设BC=x,则CD=210-x,所以BD2=BC2+CD2=x2+(210-x)2,即BD2=2(x-10)2+20.设球O的半径为R,则R2=(BD2)2+OO2
14、=12(x-10)2+8,所以当x=10时,R2取得最小值8,又球O的表面积S=4R2,则Smin=32,故选C.7.ABD设圆锥底面圆的圆心为O,连接AO,则圆锥的高h=PA2-OA2=22-(3)2=1,故选项A正确;因为圆锥的母线长都相等,所以PAB为等腰三角形,故选项B正确;设弦AB的长度为2x(0x3),弦AB的中点为D,连接OD,PD,PO,则OD2=3-x2,PD2=PO2+OD2=3-x2+1=4-x2,于是PAB的面积S=12PDAB=124-x22x=x2(4-x2)x2+4-x22=2,当且仅当x=2时取等号,所以PAB面积的最大值为2,故选项C错误;易知PAO就是直线P
15、A与圆锥底面所成的角,且sinPAO=POPA=12,因此PAO=6,故选项D正确.8.2因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,所以圆锥的底面半径r=1,母线长l=2,所以圆锥的侧面面积S=rl=2.9.100过球心O和圆台上、下底面圆的圆心作截面,设球的半径为R,当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的两侧时,则有R2-32+R2-42=7,解得R=5,故球的表面积S=4R2=100;当圆台的上、下底面圆的圆心在球心的同侧时,则有R2-32-R2-42=7,此方程无解,故舍去.10.2153因为AB=BC=2,AC=23,所以cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=-1226,所以质
16、点沿着正四棱柱的表面移动的最短距离为26.若质点直接穿过球O内部移动,则最短距离为正四棱柱的体对角线长,即球O的直径,所以最短距离为4.则质点沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球O内部移动的最短距离的比值是264=62.图D 8-1-2220.5151设球O1、球O2的半径分别为R,r,由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上,所以球心O1在上、下底面中心连成的线段的中点处,又球O2与正三棱柱的5个面都相切,易知点O2与O1重合.如图D 8-1-23,取上、下底面的中心分别为F,E,连接EF,设BC的中点为D,EF的中点为O1,连接AD,O1A,则E在AD上,O1A =R,O1E=r,在O1
17、EA中,AE=2332a=33a,O1E=r=1332a=36a,由于O1A2=O1E2+AE2,所以R2=512a2,r2=112a2,则球O1与球O2的半径之比为51,所以球O1与球O2的表面积之比为4R24r2=R2r2=512a2112a2=51.图D 8-1-2321.B不妨设半圆的半径为1,用圆心角为3的小扇形围成的圆锥的底面圆周长为31=3,设其底面圆的半径为r1,则2r1=3,所以r1=16,该圆锥的高h1=1-(16)2=356.用圆心角为23的大扇形围成的圆锥的底面圆周长为231=23,设其底面圆的半径为r2,则2r2=23,所以r2=13,该圆锥的高h2=1-(13)2=
18、223.所以h1h2=708.22.A设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R,过O作ODAC于点D,OEBC于点E,OFAB于点F,则OD=OE=OF=2.连接PD,易证PDAC,因为三棱锥P-ABC的三个侧面与底面所成角都为60,所以PDO=60,则PO=2tan 60=23,PD=2cos60=4.由题意可知三棱锥P-ABC的内切球的球心O在线段PO上,在RtPOD中,sinDPO=ODPD=RPO-R,即24=R23-R,解得R=233.所以该三棱锥的内切球的体积为43R3=43(233)3=32327,故选A.23.ABD在鳖臑P-ABC中,四个面都为直角三角形,可知PC的中点O到四个顶
19、点的距离都相等,所以点O是鳖臑外接球的球心,由外接球的体积为36,得外接球半径R=3,所以PC=6.设PA=a,BC=b,则PA2+AB2+BC2=PC2,得a2+b2=32,所以VP-ABC=13122ba=13ab13a2+b22=163,当且仅当a=b=4时,VP-ABC取得最大值163.此时PB=AC=42+22=25,所以鳖臑的表面积S=21224+212425=8+85.故选ABD.24.2解法一由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则a最大时,该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为P,球的半径为r,圆锥的顶点为S,圆锥底面圆的圆心为O,A,B为底面圆直径的两端点,轴截面上球与圆
20、锥母线的切点为Q,圆锥的轴截面如图D 8-1-24所示,连接SO,图D 8-1-24易知P在SO上,SOAB,则OA=OB=32,因为SO=332,所以SA=SB=SO2+OB2=3,所以SAB为等边三角形,所以点P是SAB的中心.连接BP,PQ,则BP平分SBA,所以PBO=30,所以tan 30=r32=33,即r=3332=32,所以正四面体外接球的半径r=32.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为a时,截得它的正方体的棱长为22a,所以2r=322a=62a=3,得a=2,所以a的最大值为2.解法二由题意知,正四面体可以在圆锥内任意转动,则a最大时,该正四面体
21、外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为S,底面圆的圆心为O,A,B为底面圆直径的两端点,圆锥的轴截面如图D 8-1-25所示,图D 8-1-25则OA=OB=32,连接SO,则SOAB,SO=332,所以SA=SB=SO2+OB2=3,SAB的面积SSAB=934,由三角形内切圆半径公式r=2Sa+b+c (其中S是三角形的面积,a,b,c是三角形的三边长)知,SAB内切圆的半径r=32.正四面体的外接球就是截得它的正方体的外接球,当正四面体的棱长为a时,截得它的正方体的棱长为22a,所以2r=322a=62a=3,得a=2,所以a的最大值为2.25.21 952由题意得正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V1=224=16(m3),正四棱锥O-ABCD的体积V2=13222=83(m3),分析知球M的半径r的最大值为1,此时球M的体积V3=43r3=4313=43(m3),故去除石料的体积V=V1-V2-V3=16-83-4327.443(m3).又=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,故需去除的石料的质量m=V2 40027.443=21 952(kg).
