1、课时作业(六十七)一、选择题1如图,E是ABCD边BC上一点,4,AE交BD于F,等于 ()A. B.C. D.解析:在AD上取点G,使AG:GD1:4,连接CG交BD于H,则CGAE,4,4,.答案:A2AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,PCB25,则ADC为()A105B115 C120D125解析:PC是O的切线,BDCPCB,又ADBACB,ADCACBPCB115.答案:B3如图,O与O相交于A和B,PQ切O于P,交O于Q和M,交AB的延长线于N,MN3,NQ15,则PN()A3 B.C3D3解析:由切割线定理知:PN2NBNAMNNQ3
2、1545,PN3.答案:D4(2012年北京)如图,ACB90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD2解析:由切割线定理得,CD2CECB,又在RtCAB中,ACDCBD,CD2ADDB,CECBADDB.答案:A5如图,AB是半圆O的直径,BAC30,BC为半圆的切线,且BC4,则点O到AC的距离OD()A.B3C3D4解析:由已知得CBA90,因为BC4,BAC30,所以AB12,故AO6,由于ODA90,所以OD3.答案:B6如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若AB6,A
3、E1,则DFDB()A5B6C3D4解析:由三角形相似可得DE2DFDB,连接AD,则DE2AEEB155.所以DFDB5.答案:A二、填空题7(2012年广东)如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足ABC30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA_.解析:连接AO,则由ABC30知AOP60.又OA1,PAOAtan 60.答案:8如图,在ABC中,ABAC,C72,O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接BD,若BC1,则AC_.解析:由题易知,CABC72,ADBC36,所以BCDACB,又易知BDADBC,所以BC2CDAC(ACBC)AC,解得
4、AC2.答案:29(2012年天津)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF3,FB1,EF,则线段CD的长为_解析:在圆中,由相交弦定理:AFFBEFFC,FC2,由三角形相似,BD.由切割弦定理:DB2DCDA,又DA4CD,4DC2DB2.DC.答案:三、解答题10如图,等边三角形ABC内接于圆O,D为劣弧BC上一点,连接BD,CD并延长分别交AC,AB的延长线于点E,F.求证:CEBFBC2.证明:因为ABC内接于圆O,且BAC60,所以BDC120.所以DBCDCB60.又BFCDCB60,
5、所以DBCBFC.同理,DCBCEB,所以CBEBFC.所以,即BC2BFCE.11(2012年深圳模拟)如图,ABC是直角三角形,ABC90.以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点连接OD交圆O于点M.求证:(1)O,B,D,E四点共圆;(2)2DE2DMACDMAB.证明:(1)如图,连接BE,OE,则BEEC.又D是BC的中点,所以DEBD.又OEOB,ODOD,所以ODEODB,所以OBDOED90,所以D,E,O,B四点共圆(2)延长DO交圆O于点H.因为DE2DMDHDM(DOOH)DMDODMOHDMDM,所以2DE2DMACDMAB.12(2012年辽宁)如图,O和
6、O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交O于点E.证明:(1)ACBDADAB;(2)ACAE.证明:(1)由AC与O相切于A,得CABADB,同理ACBDAB,所以ACBDAB.从而,即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A,得AEDBAD,又ADEBDA,得EADABD.从而,即AEBDADAB.结合(1)的结论,ACAE.热点预测13如图,过圆外一点P作O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE、BE,APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D,若AEB30,则PCE_.解析:由切割线性质得:PE2PBPA,即,PBEPEA,PEBPAE,又P
7、EA的内角和为2(CPAPAE)30180,所以CPAPAE75,即PCE75.答案:7514如图,PA与圆O相切于点A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心O,已知BPA30,PA2,PC1,则圆O的半径等于_解析:由已知可得,PA2PCPB,PB12,连接OA并反向延长,交圆于点E,交BC于D,且BPA30,在RtAPD中可以求得PD4,DA2,故CD3,DB8,记圆的半径为R,由于EDDACDDB,因此,(2R2)238,解得R7.答案:715如图,AB是O的直径,C,F为O上的点,CA是BAF的平分线,过点C作CDAF交AF的延长线于D点,CMAB,垂足为点M.(1)求证:DC是O的切线;(2)求证:AMMBDFDA.证明:(1)连接OC,OAOC,OCAOAC.又CA是BAF的平分线,DACOAC.DACOCA.ADOC.又CDAD,OCCD,即DC是O的切线(2)CA是BAF的平分线,CDACMA90,CDCM.由(1)知DC2DFDA,又CM2AMMB,AMMBDFDA.