1、第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值前提 函数f(x)的定义域为D，且x0D，对任意xD条件都有f(x)f(x0)都有f(x)f(x0)结论最大值为f(x0)，x0为最大值点最小值为f(x0)，x0为最小值点最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点【思考】最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值.2.直线的斜率(1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线的斜率，记作当x1=x2时，称直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与函数单调性的关系函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0
2、.函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.3.函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I，且x1x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)，称为函数在区间x1，x2(x1x2时)上的平均变化率.(2)函数的平均变化率与函数的单调性y=f(x)在I上是增函数0在I上恒成立y=f(x)在I上是减函数0，所以0，所以函数f(x)在区间0，+)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间2，9上是增函数，故函数f(x)在区间2，9上的最大值为f(9)=最小值为f(2)=【内化悟】利用单调性求最值的关键是什么？提示：准确确定函数的单
3、调性.【类题通】利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x1，x2D，且x1x2.(2)计算f(x2)-f(x1)，(3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性.【习练破】已知函数f(x)=x3，7.(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明.(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间3，7内单调递减，证明如下：在3，7上任意取两个数x1和x2，且x1x2，因为f(x1)=f(x2)=所以f(x2)-f(x1)=所以因为x1，x23，7，所以x1-20，x2-20，所以0所以函数f(x)在(0，+)上为增函数.(2)由(1)可知函数f(x
4、)在2，5上为增函数，所以f(x)max=f(5)=f(x)min=f(2)=类型三 常见的函数最值问题角度1 不含参数的最值问题【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间-1，1上最小值点_，最大值为_.世纪金榜导学号【思维引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最大值为答案：-1角度2 含参数的最值问题【典例】设a为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，xR.世纪金榜导学号(1)当a=0时，求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值.(2)当0a 时，求函数f(x)的最小
5、值.【思维引】(1)代入a值，化简后求最值.(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.【解析】(1)当a=0，x0，2时函数f(x)=x2-x+1，因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x=所以，当x=时f(x)值最小，最小值为当x=2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)=当xa时，f(x)=x2-x+a+1=因为0aa，则f(x)在a，+)上的最小值为当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=因为0a 所以a，则f(x)在(-，a上的最小值为综上，f(x)的最小值为【素养探】在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值.将本例的
6、函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间0，2上的最值.【解析】函数的对称轴为x=a，(1)当x2时，f(x)在区间0，2是减函数，所以f(x)min=f(2)=5-4a，所以f(x)min=(2)当x1时，f(x)max=f(2)=5-4a；当x1时，f(x)max=f(0)=1，所以f(x)max=【类题通】一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值.(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m，区间a，b为例，最小值：f(x)min=最大值：f(x)max=
7、当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.【习练破】1.函数f(x)=x2-3x-4在区间0，2上的最小值点为_，最大值为_.【解析】函数的对称轴为x=开口向上，所以最小值点为最大值为f(0)=-4.答案：-42.已知函数f(x)=x2-x+1，求f(x)在闭区间t，t+1(tR)上的最小值.【解析】函数f(x)=x2-x+1=其对称轴为x=(1)当t 时，f(x)在t，t+1上是增函数，所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；(2)当t+1 即t-时，f(x)在t，t+1上是减函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；(3)当t t+1，即时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min=综上f(x)min=【加练固】函数y=-x2+6x+9在区间a，b(ab3)有最大值9，最小值-7.则a=_，b=_.【解析】因为y=-x2+6x+9的对称轴为x=3，而ab3.所以函数在a，b单调递增.所以解得或又因为ab3，所以答案：-20
