1、第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例距离问题 基础预习初探【概念生成】实际测量问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫_,在水平线下方的角叫_(如图(1).(2)方位角指从正北方向_时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(2).仰角俯角顺(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如北偏东45,南偏西30(或西偏南60)等.(4)坡角与坡度:坡面与_所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_之比叫坡度,如图.水平面水平宽度核心互动探究探究点一 测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A
2、的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,求A,B两点的距离.【思维导引】在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】ABC=180-75-45=60,所以由正弦定理得,所以即A,B两点间的距离为m.【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【定向训练】如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=
3、5,且B与D互补,则AC的长为_ km.【解析】在ACD中,由余弦定理得在ABC中,由余弦定理得又因为B与D互补,所以cos B=-cos D,即解得AC=7.答案:7探究点二 测量都不可到达的两个点之间的距离【典例2】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1)mB.120(-1)mC.180(-1)mD.240(-1)m【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,ABO=75,ACO=30,在RtAOB中,由=tan75=tan(45+30)=得到OB=在RtAOC中,由
4、得到所以河流的宽度BC等于OC-OB=方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,ABO=75,ACO=30,在RtAOB中,sin 75=sin(30+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45=所以AB=在ABC中,BAC=45,由正弦定理,得得【类题通法】解三角形的注意事项(1)根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.(2)优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值能计算等.【定向训练】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角
5、分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1 km试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D的距离.(计算结果用根号表示)【解题指南】先求ADC与BCD,进而可发现CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在ABC中求BA即可.【解析】在ACD中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=0.1,又BCD=180-60-60=60,ACB=60,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,在ABC中,即因此,故B,D的距离为km.【补偿训练】如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,
6、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,求A,B两处岛屿间的距离.【解题指南】先在ACD中求出AD,再在DCB中求出BD,然后在ABD中由余弦定理求得AB.【解析】在ACD中,ADC=15+90=105,ACD=30,所以CAD=45,由正弦定理可得:解得在RtDCB中,BDC=45,所以BD=CD=40 (海里).在ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB解得AB=(海里).探究点三 有关距离的综合问题【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现
7、位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点至少需要多长时间?【思维导引】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.观察CD所在的三角形,有ACD和BCD,确定用BCD来求CD.【解析】由题意知AB=海里,因为DAB=90-45=45,DBA=90-60=30,所以ADB=180-(45+30)=105,在ADB中,由正弦定理得所以又因为DBC=180-60-60=60,BC=海里,所以在BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcos DBC所以C
8、D=30(海里),所以需要的时间t=1(时),即救援船到达D点至少需要1时.【类题通法】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.【定向训练】1.若本例条件不变,该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?【解析】由本例解析知在BCD中,CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以CDB=90,又因为CBD=60.所以DCB=30.过C作AB的平行线CE,即BCE=CBA=30,所以DCE=60.故该救援船应沿东偏北60的方向去营
9、救.2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?【解析】设救援船的速度为v海里/时,由本例解析求得CD=30海里,由得v45.即救援船的最小速度为45海里/时.【课堂小结】课堂素养达标1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(ACAB)测得ACB=30,则A,B间的距离应为()A.6米 B.4 米 C.6 米 D.12 米【解析】选B.在ABC中,A=90,ACB=30,由tan 30=,得AB=ACtan 30=4 (米).2.一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75距灯塔64海里的M处,下午2
10、时到达这座灯塔东南方向的N处,则这只船航行的速度(单位:海里/时)()【解析】选B.由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.在PMN中,由正弦定理得,(海里).又由M到N所用时间为14-10=4(时),所以船的航行速度v=(海里/时).3.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是_.【解析】如图,设经过t小时渔船和舰艇同时到达B处,此即为舰艇到达渔船的最短时间.在ABC中,C=45+75=120,CA=10,CB=9t,AB=21t.由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2-2109tcos 120,即36t2-9t-10=0,解得(舍).答案:40分钟
