1、第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念基础预习初探阅读下面的物理现象,思考下面的问题:a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都伴随着民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们的位移不同.b.汽车向东北方向行驶了60 km,行驶速度的大小为120 km/h,方向是东北.c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.1.上述三个实例中涉及哪些物理量?提示:位移、速度、力.2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别?提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活中的面积、质量只有大小而没有方向.
2、3.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来?提示:利用有向线段来表示.【概念生成】1.向量的概念和表示方法(1)概念:既有_,又有_的量称为向量.(也称为_)(2)向量的表示:几何表示:用_来表示向量,有向线段的长度表示向量的_,箭头所指的方向表示向量的_,即用有向线段的起点、终点字母表示,如,字母表示:用小写字母a,b,c,表示,手写时必须加箭头.大小方向有向线段大小方向矢量2.向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义:向量的_叫做向量的长度.(2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:|,|a|.(3)特殊向量:_的向量称为零向量,记作_,方向不确定;_的向量,叫做单
3、位向量.大小长度为00模等于13.向量间的关系(1)相等向量:大小_且方向_的向量,叫做相等的向量,记作:a=b.(2)平行向量:方向_的非零向量,也叫_;a平行于b,记作_;规定零向量与任意向量_.相等相同相同或相反共线向量ab平行核心互动探究探究点一 向量的有关概念【典例1】下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【思维导引】从向量的基本概念出发思考.【解析】选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,
4、与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.【类题通法】解决向量有关概念问题的方法(1)熟悉一些常见物理量是否为向量.(2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.【定向训练】1.下列说法正确的是()A.平行向量就是向量所在直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错.2.下列命题中不正确的命题个数为()若向量
5、a与b同向,且|a|b|,则ab;若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故不正确.不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.【补偿训练】下列各组是不是向量,如果是向量,说明这些向量之间有什么
6、关系?两个三角形的面积S1,S2;桌面上两个物体各自受到的重力G1,G2;小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2.【解析】面积只有大小,没有方向,故不是向量;重力G1,G2既有大小又有方向,故是向量,并且两向量方向相同,所以为共线向量;速度既有大小,又有方向,故是向量.因为两向量方向既不相同也不相反,故不是共线向量.探究点二 向量的表示【典例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:,使|=4 ,点A在点O北偏东45;,使|=4,点B在点A正东;,使|=6,点C在点B北偏东30.【思维导引】画向量,长度与方向缺一不可.【解析】由于点A在点O北偏东45处,所以在坐标
7、纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|=4 ,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.由于点B在点A正东方向处,且|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.由于点C在点B北偏东30处,且|=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上,点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3 5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.【类题通法】用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时,需依据
8、直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.【定向训练】在如图的方格纸中,取每个方格的单位长度为1,画出下列向量.(1)|=3,点A在点O的正西方向;(2)|=3 ,点B在点O北偏西45方向;(3)求出|的值.【解析】依题意,结合向量的表示可知,(1)(2)的向量如图所示.(3)由图知,AOB是等腰直角三角形,所以=3.【补偿训练】一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向西偏北50行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量.(2)求汽车从A点到D点的位移大小|.【解析】(1)向量如图所示.(
9、2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又|=|,所以在四边形ABCD中,ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以|=|=200 km.探究点三 相等向量与共线向量【典例3】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些?(3)请一 一列出与a,b,c相等的向量.【思维导引】熟记并区分共线向量及相等向量的概念.【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有.(2)与a共线的向量有.(3)与a相等的向量有;与b相等的向量有;与c相等的向量有.【延伸探究】1.变设问本例条件不变,试写出与向量相等的向量.【解析
10、】与向量相等的向量有.2.变条件,变设问在本例中,若|a|=1,则正六边形的边长如何?【解析】由正六边形性质知,FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.【补偿训练】如图,ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则(1)与向量相等的向量有_;(2
11、)与向量共线,且模相等的向量有_;(3)与向量共线,且模相等的向量有_.【解析】向量相等向量方向相同且模相等.向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合.答案:(1)(2)(3)【定向训练】如图所示,已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)与相等的向量有_,与相等的向量有_;(2)与共线的向量有_;(3)与的模相等的向量有_.【解析】(1)根据相等向量定义可知.(2)根据共线向量的定义可知,与共线的向量为.(3)易知答案:(1)(2)(3)【补偿训练】如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF
12、AB,则()【解析】选D.由平面几何知识知,与方向不同,故 ;与方向不同,故 ;与的模相等而方向相反,故 ;与的模相等且方向相同,所以=.【课堂小结】课堂素养达标1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:|a|b|;ab;|a|0;|b|=1;=b.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以不正确;a与b不一定平行,故不正确.是a方向上的单位向量,不一定等于b,故不正确.2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()【解析】选D.与方向相同且长度相等,则=.3.在平面上将所有模相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组
13、成_.【解析】在平面上将模相等的向量的起点放在同一点上,则各终点到该点的距离相等,所以各终点应在同一个圆上.答案:一个圆4.飞机从A地按北偏西15的方向飞行1 400 km到达B地,再从B地按南偏东75的方向飞行1 400 km到达C地,那么C地在A地什么方向?C地距A地多远?【解析】如图所示,表示飞机从A地按北偏西15方向飞行到B地的位移,则|=1 400 km.表示飞机从B地按南偏东75 方向飞行到C地的位移,则|=1 400 km.所以为从A地到C地的位移.在ABC中,|AB|=|BC|=1 400,且ABC=(90-15)-15=60,故ABC为等边三角形,所以BAC=60,且|AC|=1 400.所以C地在A地北偏东60-15=45的方向,距离A地1 400 km.
