1、第十二章 轴对称第三节等腰三角形第四课时特殊直角三角形四案一构导学初中数学八年级上将两个含有板有30的三角尺如图摆放在一起,你能借助这个图形,找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?BACD学习目标v 1.探索发现猜想证明直角三角形中有一个角为30的性质，提高逻辑思维能力。v 2.通过合作探究，学会有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用。v 3.积极投入，体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性。v【学习重点】：有一个角为300的直角三角形的性质定理的发现与证明v【学习难点】：对有一个角为300的直角三角形的性质定理的证明的理解课内探究（一）基础知识探究：探究点一：特殊直
2、角三角形的性质问题1.如图4所示，将两个含有30的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？CBAD图4【答案】：30所对的直角边是斜边的一半。因为摆成的三角形正好是等边三角形，所以BC为AB的一半。【归纳总结】：直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。问题2.你能不能证明此性质？不妨试一试，写出它的已知，求证，解答过程。图5【答案】：已知：如图5，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，B=60延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图
3、6）ACB=60，ACD=90AC=ACABCADC（SAS）AB=ADABD是等边三角形BC=BD=AB图6图7BA300CD问题3.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30，对不对？你能否证明？【答案】：证明:如图7,延长BC至D,使CD=BC,连接AD。在ABD中,ACB=900AB=AD又BC=AB BC=BDAB=BD AB=BD=ADABD是等边三角形B=600A=300【归纳总结】：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300。（二）知识综合应用探究探究点一：有一角为30o直角三角形性质的应用【例2】如图所示，是屋架设计图
4、的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？图问题1.DE与AD有什么关系？怎样得到的？【答案】：DE=AD,根据30所对的直角边等于斜边的一半。问题2.能否利用AB求出DE？DE与AB有何关系？【答案】：能；DE=AB。DBCA图8【例3】如图8所示,在ABC中,BD是AC边上的中线,DBBC于B，ABC=120o,求证:AB=2BC问题1.ABD=?,DBC=?【答案】ABD=30o ,DBC=90o。问题2.要证明AB=2BC，我们需构造有一个角为30o直角三角形，我们怎么构造？【答案】过A作AEBC交BD的延长线于E，得
5、到三角形ABE。EDBCA图10问题3.证明AB=2BC，在RtABE中，证明什么成立即可。【答案】AE=BC。DBCA图9【例2】如图9所示,在ABC中,BD是AC边上的中线,DBBC于B,ABC=120o,求证:AB=2BC。【答案】证明:过A作AEBC交BD的延长线于EDBBCAED=90o在ADE和CDB中ADECDB(AAS)AE=CBABC=120o,DBBC(已知)ABD=30o在RtABE中,ABD=30oAE=ABBC=AB即AB=2BC。【拓展提升】若已知BC=2，则求AB=？【答案】AB=4（可证明AB=2BC，再将BC=2代入求得）。EDBCA一角为30o直角三角形的性质作用：（1）可用于证明线段成2倍关系；（2）在直角三角形快速求边长。【规律方法总结】总结升华特殊直角三角形的性质的探寻以及应用。【课堂小结】1.知识方面：（1）数形结合（2）化归与转化（3）观察归纳2.数学思想方面：整理巩固要求：整理巩固探究问题落实基础知识完成知识结构图
