1、第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律2掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把|a|b|cos叫做向量a与b的数量积，记为ab,即ab|a|b|cos.规定，零向量与任何向量的数量积为0，即0a0.3两个向量数量积的性质若a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则eaae|a|cos.abab0.若a与b同向，则ab|a|b|；若a与b反向，则a
2、b|a|b|.4两个向量数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(结合律)(a)b(ab)；(交换律)abba；(分配律)a(bc)abac.A4B3C2 D1解析：正确，不正确答案：D答案：C3已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60，其模都为1，则|ab2c|等于_4已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于_解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案：25如图2所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC夹角的余弦值典 例 精 析类型一 空间向量的数量积运算例1如图3所示，已知正三棱
3、锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点求下列向量的数量积：点评 本题主要考查空间向量数量积的定义及其运算，要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用迁移体验1 已知正四面体OABC的棱长为1.迁移体验2 如图6所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角类型三 利用数量积求距离例3如图7所示，已知矩形ABCD，AB4，BC3，沿对角线AC把矩形ABCD折成30的二面角，求BD.迁移体验3 如图9，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成60角，求B，D间的距离类型四 利用数量积证明垂直问
4、题例4如图10，正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.点评 用向量解决立体几何中一些简单问题时，我们要解决好以下几方面的问题：(1)如何把已知几何体转化为向量表示？(2)考虑未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？(3)如何对已经表示出来的向量进行计算，获得结论？迁移体验4 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.思 悟 升 华1由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的2在利用空间向量数量积的定义式进行数量积的运算时，关键是搞清楚两个向量的夹角在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把其中一个向量平移到与另一个向量的起点相同3利用空间向量的数量积可以有效地解决立体几何中的垂直关系的论证、夹角与距离的计算，利用向量的数量积的几何意义，可把立体几何问题转化为向量的计算问题在用空间向量解决立体几何问题时，一般可按如下程序进行思考：(1)如何把已知的几何条件转化为向量表示，要解决的问题需用到哪些向量，可用什么向量知识解决？(2)考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示；(3)如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论
