1、第四章圆的方程42 直线、圆的位置关系42.3 直线与圆的方程的应用 1能利用直线与圆的方程解决平面几何问题 2能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题 (对应学生用书对应学生用书9494页页)(对应学生用书对应学生用书9494页页)一座圆拱桥，当水面距拱顶4 m时，水面宽20 m，洪水来临时水面上升，上升速度为每小时30 cm，现有一小船的宽度为4 m，载货高度为4 m，多长时间后小船将不能通航，这类问题在实际生活中经常遇到，本节我们来研究此类问题的求解.(对应学生用书94页)第一步：；第二步：；第三步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题通
2、过代数运算，解决代数问题把代数运算结果“翻译”成几何结论 探究：利用坐标法与一般方法解决几何问题有何不同？提示：一般方法是在几何图形中，利用图形的几何性质直接推出结果，较简洁，但思路难想坐标法是在几何图形所在平面直角坐标系中，将几何问题转化为代数问题，用代数方法解决，思路明显，但过程较繁.(对应学生用书94页)(对应学生用书94页)要点一 直线与圆的方程的实际应用 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何的应用，通常要用坐标法来解决 例1 某圆拱桥的示意图如图所示该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长【解】如图，以线段AB所在的直线为
3、x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A、B、P的坐标分别为(18,0)、(18,0)，(0,6)设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0.因为点A，B，P在所求的圆上，故有【规律方法】解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：要点二 直线与圆的方程在平面几何中的应用 利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释 例2 如图，RtABC
4、的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，BC的延长线交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值【分析】建立平面直角坐标系，用字母或数值表示A，P，Q的坐标，代入式子化简推证【证明】如上图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)【规律方法】本题为一几何问题，若不通过建系，用坐标法则不易解决，解答过程应注意：(1)点B，C关于O点对称，点P，
5、Q关于O点对称，(2)A(x，y)满足x2y2m2.变式2AB为圆的定直径，CD为直径，过D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|AB|，求证：直线CP必过一定点 例3 已知x，y满足x2y22x4y0，求x2y的最大值【分析】x，y满足圆的方程，即点(x，y)在圆上；求x2y的最大值解答本题应先设bx2y，得直线x2yb0，利用直线与圆有公共点求b的范围【规律方法】此类问题主要是利用要求式子的几何意义，将代数求值问题转化成函数图象间的位置关系，利用函数图象的性质解题，常涉及斜率、截距、距离等 典例 如图所示，自A(4,0)引圆x2y24的割线，交圆得弦BC，求弦BC的中点P的轨迹方程(对
6、应学生用书96页)【错因分析】尽管本题从不同角度观察分析问题，得到三种不同的解法，其中错解二特别简捷，但是所有的解法都犯了一个同样的错误，即扩大了轨迹范围众所周知，圆的割线与圆有两个公共点，弦的中点肯定在圆内，所求圆上的所有的点不一定都在已知圆内 易错补练 一动圆经过定点M(4,0)且与已知圆(x4)2y29相外切，求动圆圆心的轨迹方程 1用坐标法解决平面几何问题按“三部曲”完成 2直线和圆在现实生活中的应用，主要包括两大块，一是直线和圆的直线应用，它涉及质量、重心等问题；二是直线和圆的方程形式，可以使我们更好地了解近代数学发展(对应学生用书96页)1(2010年唐山高二检测)两圆x2y26x16y480与x2y24x8y440的公切线条数为()A4条 B3条 C2条D1条(对应学生用书96页)3一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面高度不得超过()A1.4米B3.5米 C3.6米D2米 5为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离
