1、第二章 函数、导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；2.了解微积分基本定理的含义。2015，天津卷，11,5 分(求面积)2015，福建卷，8,5 分(定积分与概率的综合)2014，陕西卷，16,5 分(定积分的计算)1.定积分的计算、利用定积分求平面图形的面积是高考命题的内容之一；2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题；3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1定积分的定义一般地，如
2、果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式i1nf(i)xi1n ban f(i)，当 n时，上述和式无限接近某个，这个叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx。常数常数2定积分的相关概念在abf(x)dx 中，_与_分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，函数_叫做被积函数，_叫做积分变量，_叫做被积式。3定积分的性质(1)abkf(x)dx_(k 为常数)；(2)abf1(x)f2(x)dx_；(3)_acf(x)dxcbf(x)dx
3、(其中 ac0，0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_。(2)(2015福建高考)如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数 f(x)x2。若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_。【解析】(1)由图象可知 A1，T223 3，所以 1，f(x)sinx6。图中其与 x 轴的交点横坐标为6，所以图中的阴影部分的面积为sinx6 dx，因为cosx6 sinx6，所以原式cosx6132。(2)依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S144，阴影部分的面积 S阴影412x2dx413x3|2147353，根据几何概
4、型的概率计算公式得，所求的概率 PS阴影S 534 512。【答案】(1)1 32 (2)512【典例 3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln5 B825ln113C425ln5 D450ln2(2)已知作用于某一质点的力 F(x)x2，0 x1，x1，1x2(单位：N)，则力F(x)从 x0 处运动到 x2 处(单位：m)所做的功为_。考点三定积分在物理中的应用【解析】(1)73t 251t0，t4 或 t830(舍去)。0473t
5、251t dt7t32t225ln1t|40425ln5，故选 C。(2)根据题意，力F所做的功为W01x2dx12(x1)dx13x3|1012x2x|21176(J)。【答案】(1)C(2)176 J反思归纳 定积分在物理中的两个应用1求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程sabv(t)dt。2变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WabF(x)dx。【变式训练】(1)物体 A 以 v3t21(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直
6、线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为()A3 B4C5 D6(2)设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10，已知 F(x)x21 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x 的单位：m；力的单位：N)【解析】(1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为0t(3t21)dt，物体 B 在 t 秒内行驶的路程为0t10tdt，因为(t3t5t2)3t2110t，所以0t(3t2110t)dt(t3t5t2)|t0
7、t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得 t5。故选 C。(2)变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为WF(x)dx(x21)dx 因为13x3x x21，所以原式342(J)。【答案】(1)C(2)342微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1定积分|x22x|dx 等于()A5 B6C7 D8解析|x22x|dx8344838。故选 D。答案 D2(2016 怀化模拟)定积分01 x2xdx 的值为()A.4B.2C D2解析 令 y x2x，则(x1)2y21(y0)，由定积分的几何意义可知，01 x2xdx 的值为区域x12y21y0
8、，0 x1的面积，即以(1,0)为圆心，1为半径的圆面积的14，即4。故选 A。答案 A3(2017莆田模拟)如图，由函数 f(x)exe 的图象，直线 x2 及 x轴所围成的阴影部分面积等于()Ae22e1 Be22eC.e2e2De22e1解析 由已知得 S12f(x)dx12(exe)dx(exex)|21(e22e)(ee)e22e。故选 B。答案 B4(2016江西八校联考)计算：(x3cosx)dx_。解析 yx3cosx 为奇函数，(x3cosx)dx0。答案 05(2016北京模拟)如图，圆 O：x2y22 内的正弦曲线 ysinx 与 x轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)，随机向圆 O 内投一个点 A，则点 A落在区域 M 内的概率是_。解析 阴影部分的面积为 20sinxdx2(cosx)|04，圆的面积为 3，所以点 A 落在区域 M 内的概率是 43。答案 43
