1、章末复习与小结第十三章 轴对称专题选讲知识网络重难突破课后习题知识网络作轴对称图形的对称轴生活中的轴对称轴对称画轴对称图形关于坐标轴对称的点的坐标的关系等腰三角形等边三角形应用最短路径问题含30角直角三角形方法专题6两类重要的平分线 P56方法专题7等腰三角形中的分类讨论 P57方法专题8特殊三角形中常见辅助线的作法 P63本章专题索引专题选讲方法专题9共顶点的等腰三角形 P65专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线的综合例1如图，在ABC中，BAC=90，ABC=2C，BE平分ABC交AC于点E，ADBE交BE于点D，交BC于点F，有下列结论：AC-BE=AE；点E在线段BC的
2、垂直平分线上；DAE=C.其中正确的有_（填序号即可）.专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线的综合例2如图，已知在ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.求证：BAF=ACF.专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线的综合证明：AD是BAC的平分线，BAD=DAC.FE是AD的垂直平分线，FA=FD，FAD=FDA.BAF=FAD+BAD,ACF=FDA+DAC,BAF=ACF.专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线的综合例3如图，ABC的外角DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PDAB于D，PEAC于E.求证：BD
3、=CE.专题选讲 两类重要的平分线类型 角平分线与垂直平分线的综合BD=CE.证明：连接BP，CP.点P在BC的垂直平分线上，BP=CP.AP是DAC的平分线，PDAB，PEAC.DP=EP.在RtBDP和RtCEP中，RtBDPRtCEP（HL）.BP=CP,DP=EP,类型一 针对腰长和底边长进行分类等腰三角形中求周长时忽略三边关系：当腰和底不明确时需分类讨论，然后看它们是否满足三角形的三边关系，不满足的要舍去.易错提醒专题选讲 等腰三角形中的分类讨论例若实数x,y满足|x-5|+y-10=0，则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为_.25类型一 针对腰长和底边长进行分类专题选讲 等腰三
4、角形中的分类讨论练一练：已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9 cm和12 cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为_.6 cm和9 cm或8 cm和5 cm提示：分类讨论，计算结果根据实际情况进行取舍。类型二 针对顶角和底角进行分类专题选讲 等腰三角形中的分类讨论顶角、底角不明确时求角的度数漏解：当等腰三角形的顶角、底角不明确时一般要分情况讨论，然后根据“三角形的内角和为180”及“等腰三角形两底角相等”求解，注意等腰三角形的底角只能是锐角.易错提醒50或80例已知等腰三角形的一个外角为130，则它的顶角的度数为_.类型二 针对顶角和底角进行分类专题选讲 等腰三
5、角形中的分类讨论练一练：我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如果等腰三角形的“内角正度值”为45，那么该等腰三角形的顶角等于_.30或90提示：分类讨论，计算结果根据实际情况进行取舍。类型三 针对锐角三角形和钝角三角形进行分类例在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B等于（）A.20B.60或20C.65或25D.60专题选讲 等腰三角形中的分类讨论C练一练：在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，AEB=70，那么BAC等于（）A.55或125B.65C.55D.125A类型三 针对
6、锐角三角形和钝角三角形进行分类专题选讲 等腰三角形中的分类讨论类型四 确定等腰三角形的数目专题选讲 等腰三角形中的分类讨论例如图，在RtABC中，ACB=90，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.9个B.8个C.7个D.6个B类型四 确定等腰三角形的数目专题选讲 等腰三角形中的分类讨论4练一练：如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_个.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型一 利用“三线合一”作辅助线例如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作E
7、FBC，且AE=AF，求证：DE=DF.又AE=AF，AD垂直平分EF，DE=DF.证明：连接AD.在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，ADBC.EFBC，ADEF.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型一 利用“三线合一”作辅助线练一练：如图，在ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一点，点E在AC上，且AD=AE，求证：DEBC.AMBC，DEBC.证明：过点A作AMBC于点M.AB=AC，BAC=2BAM.AD=AE，D=AED，BAC=D+AED=2D，BAM=D，DEAM.M专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线构造等腰三角形例已知ABC为等边三角形，点D为
8、AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE.（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；提示：过点D作BC的平行线.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线构造等腰三角形BPDDCE（AAS），PD=CE，AD=CE.解：（1）AD=CE.理由如下：过点D作DPBC，交AB于点P.ABC是等边三角形，APD也是等边三角形，AP=PD=AD，APD=ABC=ACB=ADP=60.DB=DE，DBC=DEC.DPBC，PDB=CBD，PDB=DEC.又BPD=A+ADP=120，DCE=A+ABC=120，BPD=DCE.在BPD和DCE中，
9、PDB=DEC,BPD=DCE,DB=DE,P专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线构造等腰三角形例已知ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE.（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立？请说明理由.提示：过点D作BC的平行线.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型二 作平行线构造等腰三角形BPDDCE（AAS），PD=CE，AD=CE.解：过点D作DPBC，交AB的延长线于点P.ABC是等边三角形，APD也是等边三角形，AP=PD=AD，P=ABC=ACB=PDC=60.DB=DE，DBC=DEC.DPBC，PD
10、B=DBC，PDB=DEC.P在BPD和DCE中，PDB=DEC，P=DCE=60，DB=DE，专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型三 用“截长补短法”构造等腰三角形例如图，在ABC中，BAC=120，ADBC于点D，且AB+BD=DC，求C的度数.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型三 用“截长补短法”构造等腰三角形BAC=120,B+C=180-120=60,3x=60,x=20,C=20.解：在DC上截取DE=DB，连接AE.设C=x.AB+BD=DC，DE+CE=DC，DE=DB，CE=AB.ADBC，DB=DE，直线AD是BE的垂直平分线，AB=AE，CE=AE，B=AE
11、B，C=CAE.又AEB=C+CAE，AEB=2x，B=2x,B+C=3x.E专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型四 用“延长法”构造等腰三角形例如图，ABCD，1=2，AD=AB+CD.求证：（1）BE=CE；（2）AEDE；（3）AE平分DAF.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型四 用“延长法”构造等腰三角形（3）由（1）知AD=AF，由（2）知DE=EF，AE平分DAF.证明：（1）延长AB，DE交于点F.ABCD,2=F.1=2，1=F，AD=AF.AD=AB+CD，AF=AB+BF，CD=BF.DCEFBE（AAS）.BE=CE（2）由（1）知AD=AF，DCEFBE,
12、DE=EF,AEDE.F在DCE和FBE中，CED=BEF,2=F,CD=BF,专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型五 用“倍长中线法”构造等腰三角形例如图，在ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE=EF.求证：AB=CF.专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法类型五 用“倍长中线法”构造等腰三角形AE=EF,EAF=AFE=GFD,G=GFD,CG=CF,AB=CF.证明：延长AD至点G，使DG=AD，连接CG.AD为中线，BD=CD.ABDGCD（SAS）.AB=CG,G=EAF.G在ABD与GCD中，AD=GD，ADB=GDC，BD=CD，专题选讲 特殊
13、三角形中常见辅助线的作法已知在ABC中，2ACB=ABC.如图1，作ABC的平分线BD，则可构造等腰BDC；如图2，作BCE=2ACB，交BA的延长线于点E，则可构造等腰BCE；方法归纳专题选讲 特殊三角形中常见辅助线的作法已知在ABC中，2ACB=ABC.如图3，延长CB至点D，使BD=AB，则可构造等腰ABD与等腰ADC；如图4，作BCE=ACB，交AB的延长线于点E，则可构造等腰BCE.方法归纳专题选讲 共顶点的等腰三角形类型一 共顶点的等腰直角三角形例如图，在ABC和BCD中，BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD.延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC，连接
14、AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.求证：（1）AD=AF；（2）BD=EF.专题选讲 共顶点的等腰三角形类型一 共顶点的等腰直角三角形ABFACD（SAS），AD=AF.证明：（1）AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ABF=135.BCD=90，ACD=135=ABF.CB=CD，CB=BF，BF=CD.在ABF和ACD中，AB=AC，ABF=ACD，BF=CD，专题选讲 共顶点的等腰三角形类型一 共顶点的等腰直角三角形证明：（2）由（1）知AF=AD，ABFACD，FAB=DAC.AEFABD（SAS）.BD=EF.BAC=90，EAB=BAC=90，EAB-FAB
15、=BAC-DAC，即EAF=BAD.AB=AC,AE=AC,AB=AE.在AEF和ABD中，AE=AB，EAF=BAD，AF=AD，专题选讲 共顶点的等腰三角形类型二 共顶点的等边三角形例如图，APB与CDP是两个全等的等边三角形，且PAPD，有下列四个结论：PBC=15；ADBC；直线PC与AB垂直.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个D专题选讲 共顶点的等腰三角形类型二 共顶点的等边三角形练一练：如图，在ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则AOB的度数为_.120重难突破线段垂直平分线的性质1B例1如图，在RtABC中，
16、B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知BAE=10，则C的度数为（）A.30B.40C.50D.60重难突破等腰三角形的性质与判定2例2（10分）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=36，BD是ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）FEAB；（2）ACF为等腰三角形.重难突破等腰三角形的性质与判定2又E是AB的中点，DEAB，即FEAB.证明：（1）AB=AC，BAC=36，ABC=ACB=72.（1分）BD是ABC的平分线，ABD=CBD=36，BAD=ABD，AD=BD.（3分）（5分）重难突破等腰三角形的性质与判定2AC=CF，即ACF为等腰三角形.证明：（2）FEAB，AE=BE，FE垂直平分AB，AF=BF，BAF=ABF.（7分）ABD=BAD，FAD=FBD=36.又ACB=72，AFC=ACB-CAF=36，CAF=CFA=36，（9分）（10分）课后习题双休作业：轴对称及图形画法与坐标表示法P50综合训练：第十三章 轴对称P68综合检测：第十三章 轴对称P133（活页）双休作业：等腰三角形的性质与判定P61
