1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解抛物线的简单几何性质.2.能利用性质解决与抛物线有关的问题.3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题.4.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、抛物线的简单几何性质【问题思考】1.我们知道二次函数y=x2是抛物线的一种标准方程,有定义域、值域,其图象有对称轴、顶点坐标,那么你能写出抛物线y2=2px(p0)的对称轴、顶点坐标、图象上的点的横、纵坐标满足的范围吗?提示:抛物线y2=2px(p0)的对称轴为x轴,顶点坐标为原点,x0,yR.2.填表:抛物线的几何性质3.做一做:顶点在原点
2、,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=8yD.x2=16y解析:顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py(p0).由顶点到准线的距离为4知p=8,故所求抛物线方程为x2=16y,x2=-16y.答案:D二、过焦点的弦长公式【问题思考】1.若斜率为k的直线l经过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,你能想到哪些求弦长|AB|的方法?提示:(方法一)利用两点间的距离公式;2.填空:焦点弦3.做一做:过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(
3、x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于()A.10B.8C.6 D.4解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案:B【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()(4)抛物线是双曲线的一支,也有渐近线.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三思想方法探究一由抛物线的几何性质求其标准方程【例1】(1)已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,则抛
4、物线的方程为.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,则抛物线的方程为.分析:(1)利用几何性质确定抛物线方程;(2)因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为.探究一探究二探究三思想方法故抛物线的对称轴为x轴.所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).所以p=6.则抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x.(2)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为,交点横坐标为1,则抛物线过点(1,)或(-1,),设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px
5、(p0),则2p=3,从而抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.答案:(1)y2=12x或y2=-12x(2)y2=3x或y2=-3x探究一探究二探究三思想方法反思感悟 抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,为.探究一探究二探究三思想方法【变式训练1】已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切,则p=()A.1B.2C.3D.4故p=2.答案:B探究一探究二探究三思想方法探究二抛物线的几何性质的应用【例2】已知A,B是抛物线y2=
6、2px(p0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.分析:先由抛物线的对称性设出A,B两点的坐标,再利用垂直和点A,B在抛物线上求解.探究一探究二探究三思想方法抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,ABO为等腰三角形.A,B两点关于x轴对称.设A(x0,y0),则B(x0,-y0),ABO的垂心恰为抛物线的焦点,BFOA.探究一探究二探究三思想方法本例题若把“垂心”改为“重心”,其他条件不变,AB的方程如何?解:因为抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,所以A,B两点关于x轴对称.反思感悟 利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称
7、性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.探究一探究二探究三思想方法【变式训练2】已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.探究一探究二探究三思想方法探究三抛物线中过焦点的弦长问题【例3】如图,斜率为 的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F(1,0),且与抛物线相交于A,B两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段AB的长.分析:(1)由抛物线的焦点坐标得p的值,求出抛物线方程及其
8、准线方程.(2)由过焦点的直线方程与抛物线方程联立,利用焦点弦长公式可解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法反思感悟 对于抛物线的焦点弦,应熟悉一些常见的结论,并可直接应用于选择题和填空题的解答,如设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2)(A,B点为直线与抛物线的交点),则有:(1)y1y2=-p2;探究一探究二探究三思想方法【变式训练3】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.解:如图,依题意可设抛物线方程为y2=2px(p0),即x1+x2+p=8.又A(
9、x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,探究一探究二探究三思想方法x1+x2=3p,将其代入得p=2,所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p0)时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.故抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.探究一探究二探究三思想方法【思想方法】函数思想与数形结合思想在抛物线最值中的应用【典例】如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使PAB的面积最大,并求出这个最大面积.审题视角:通过联立方程组求得A,B的坐标,从而可得|AB|的大小;设出点P坐标,利用点到直线的距离公式表示出AB边
10、上的高,从而表示出PAB的面积;考虑点P坐标变量的范围求得函数的最大值即可.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法方法点睛 1.解决本题的关键是弦AB的长度为定值,于是PAB的面积最大转化为点P到直线AB的距离最大.2.处理点P到直线AB的距离最大,有两种思路:一是利用函数思想,设出点P的坐标转化为二次函数问题;二是利用数形结合思想,平移直线AB与抛物线相切问题.3.在应用二次函数配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.探究一探究二探究三思想方法【变式训练】求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.解法一:设A(t,-t2)为抛物线
11、上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离探究一探究二探究三思想方法解法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0(m-8),随堂练习p=3,且抛物线开口向右,抛物线的标准方程为y2=6x.答案:C答案:A 3.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析:由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),得直线的方程为y=x-2.代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.x1+x2=12,弦长等于x1+x2+p=12+4=16.答案:B4.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为.5.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3 ,求m的值.
