1、？6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示？课标定位素养阐释1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件.3.提升直观想象和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、平面向量数乘运算的坐标表示【问题思考】1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗?提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y);3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y).2.已知a=(x,y),R,则a=(x,y),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.？A.(-3,-3)B.(-6,3)C.(
2、3,-6)D.(-4,-1)答案:C？二、平面向量共线的坐标表示【问题思考】1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),根据共线向量定理,当a与b共线时,存在唯一实数,使a=b,那么根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1.？2.平面向量共线的坐标表示？3.做一做:(1)下列各组向量中,共线的是()A.a=(1,2),b=(4,2)B.a=(1,0),b=(0,2)C.a=(0,-2),b=(0,2)D.a=(-3,2),b=(-6,-4)(2)若向量m=(3,-2)与n=(
3、x,4)共线,则实数x=.解析:(1)C选项中,因为b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线;(2)因为两个向量共线,所以34=(-2)x,解得x=-6.答案:(1)C(2)-6？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若a=(1,-2),则2a=(2,-2).()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2x2y1,则a与b不共线.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 平面向量线性运算的坐标表示【例1】已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,分析:直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则
4、求解.解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),？平面向量坐标运算的方法:(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.？探究二 平面向量共线的坐标表示【例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列方程(组),
5、求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向.？本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,又如何求k的值?解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),a+kb与3a-b平行,(1-3k)4-(2+2k)6=0,？探究三 判定直线平行、三点共线？1.三点共线问题的实质是向量共线问题,利用向量共线证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量共线;(2)证明两个向量有公共点.2.A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.？【变式训练2】如图所示,已知直角梯形ABCD,ADAB,AB=2AD=2C
6、D,过点C作CEAB于点E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:(1)DEBC;(2)D,M,B三点共线.？证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,CEAB,而AD=DC,四边形AECD为正方形.可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).？思 想 方 法？【典例】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.审题视角:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三点共线;(2)先根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满足的关系,
7、再根据A,P,C三点共线即可求得点P的坐标.？应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后回归到几何问题中.？随 堂 练 习？答案:A？2.已知向量a=(-3,3),b=(3,x),若a与b共线,则x等于()A.-3 B.3 C.1 D.-1解析:因为a与b共线,所以-3x-33=0,解得x=-3.答案:A？答案:A？4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(a+b)c,则的值为.解析:因为a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),又因为(a+b)c,？
