1、4.4.1 圆的标准方程 4.1 圆的方程求曲线方程的步骤选系取动点,找等量，列方程,化简圆的定义：根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程?平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.1(口答)、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1练习Xy0+2-2C(0、0)r=2XY0-1C(-1、0)r=1(1)x2+y2=9(2)(x+3)2+(y-4)2=5练习2、写出下列圆的方程（1）、圆心在原点，半径为3；（2）、圆心在(-3、4),半径为
2、.3、圆心在（-1、2），与y轴相切练习XY0c-1C(-1、2)r=1(x+1)2+(y-2)2=1(x-2)2+(y-2)2=4 或(x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.XY0C（8、3）P（5、1）5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.练习(x-8)2+(y-3)2=13XC(1、3)3x-4y-6=0Y0练习6、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3 因为半径r为圆心到切线3
3、x-4y-6=0的距离，所以|31-4 3-6|15 所以圆的方程为r=3(x-1)2+(y-3)2=9522)4(3-+7、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径的圆的方程.提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2A(4、9)B(6、3)X0Y练习例2、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.yxO),(00 yxM思考1.圆的切线有哪些性质？2.求切线方程的关键是什么？3.切线的斜率一定存在吗？yxO.200ryyxx=+,22020ryx=+),(0000 xxyxyy-=-.1kOM-所求的切线方程是因为点M在圆上,所以经过点M
4、的切线方程是解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k=y0,0 xkOM=.00yxk-=当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.整理得4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？例2 已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。P(x,y)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解.如图，在RtOMP中yxOx0 x+y0 y=r2P(x,y)yxO 例 2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。分析：利用平面向量知识.OM MP=0OM MPx0 x+y0 y=r2设P（x,y)是切线上不同于M的任意一点,则当P与M重合时，
5、P的坐标仍满足上面方程.练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2，)的切线方程。62x+y=106经过圆上一点的切线的方程是 x0 x+y0 y=r2x2+y2=r2xx+yy=r2x0 x+y0y=r2例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）yx思考：1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？2.圆心和半径能直接求出吗？3.怎样求出圆的方程？4.怎样求出支柱A2P2的长度？解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0
6、，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5 r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2 代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m.例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx思考利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标
7、？进而写出圆的方程？C1小结：(1)、牢记:圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(3)、方法：待定系数法数形结合法d用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则（1）直线和圆相交drr1.1.求圆心求圆心CC在直线在直线 x+2y+4=0 x+2y+4=0 上，且过两定点上，且过两定点 A(-1,1)A(-1,1)、B(1,-1)B(1,-1)的圆的方程的圆的方程2.2.试推导过圆试推导过圆(x-ax-a)22+(+(y-b)y-b)22=r=r22上一点上一点M(M(xx00,y,y00)的切的切线方程线方程.4.4.自圆自圆(x-ax-a)22+(+(y-b)y-b)22=r=r22外一点外一点M(M(xx00,y,y00)向圆引切线，向圆引切线，求切线的长求切线的长.课外思考题3.3.从圆从圆xx22+y+y22=10=10外一点外一点P(4,2)P(4,2)向该圆引切线，求切线向该圆引切线，求切线方程方程.思考题：圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0是关于x、y的二元二次方程。那么是否二元二次方程均可化为圆方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
