1、第3讲函数的性质1特级教师王新敞源头学子理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题.2特级教师王新敞源头学子因为奇、偶函数的定义域关于原点对称，所以p+q=0.1.1.若若偶偶函函数数f(f(xx)的的定定义义域域是是pp，qq，则则p+q=p+q=.02.给出下面四个函数：f(x)=x3;f(x)=sinx+tanx;f(x)=ax2+bx+c(ab0)；f(x)=lg +x.其中是奇函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个C3特级教师王新敞源头学子3.下面四个命题：偶函数的图象
2、一定与y轴相交；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR).其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4A4特级教师王新敞源头学子是错的，举反例：f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，但与y轴没有交点;是错的,举反例：f(x)=是奇函数,图象不过原点；是正确的;是 错 的,举 反 例:f(x)=0，x-1,1既是奇函数又是偶函数，但是只要定义域不同,就是不同的函数.5特级教师王新敞源头学子4给出下列四个函数：f(x)=x+1;f(x)=;f(x)=x2;f(x)=sinx.其中在(0,+)上是增函数的有()CA.0个B
3、.个C.个D.个6特级教师王新敞源头学子5.(1)函数f(x)=2x2-3x+1的单调递增区间是；(2)函数f(x)=|2x2-3x+1|的单调递增区间是；(3)函数f(x)=的单调递增区间是.1,+),+),和1,+)7特级教师王新敞源头学子(1)显然递增区间为 ,+).(2)函 数 f(x)=|2x2-3x+1|的 图 象 如 图,递增区间是 ,和1,+).(3)对于f(x)=,定义域是1,+)(-,.利用复合函数的单调性知，递增区间是1,+).8特级教师王新敞源头学子1.函数的单调性及其几何意义一般的，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x
4、2,当x1x2时，(1)若都有f(x1)f(x2),则称f(x)在 区 间 D上 是 增 函 数；(2)若 都 有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间D上是减 函 数.它 的 等 价 形 式,即 若 x1、x2a,b,那么9特级教师王新敞源头学子(1)0 f(x)在区间a,b上是(2);0f(x)在区间 a,b 上 是 增 函 数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在区间a,b上是减函数.增函数减函数两点的连线斜率都大于（或小于）零增（或减）函数图象上任意10特级教师王新敞源头学子2.单调函数及单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),我们就说f(x)在这个区
5、间上具有严格的单调性,区间D叫做f(x)的增区间(或减区间),统称为单调区间.3.复合函数的单调性复合函数y=fg(x)由内、外两层(分别是u=g(x)和y=f(u)函数构成，其单调性可按的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则fg(x)为增函数；若是一增一减，则fg(x)为减函数.同增异减11特级教师王新敞源头学子4.函数奇偶性一般的，如果.(1)都有,那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有,那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的图象是关于成对称的图形.若奇函数的定义域含有数0,则必有;偶函数的图象是关于成对称的图形.偶函数对定义域内的任意x的值，则必有
6、.对于函数f(x)的定义域内任意一个xf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)原点1111 中心f(0)=0y轴轴f(-x)=f(x)=f(|x|)121213131414151512特级教师王新敞源头学子定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的条件;在定义域的公共部分内，当f(x),g(x)均为奇函数时，有f(x)g(x)是奇函数；f(x)g(x)是偶函数.当f(x),g(x)均为偶函数时，有f(x)g(x)是;f(x)g(x)是.161617171818必备偶函数偶函数13特级教师王新敞源头学子;增函数；减函数；增（或减）函数图象上任意两点的连线斜率都大于（或小于）零；
7、同增异减；对于函数f(x)的定义域内任意一 个 x;f(-x)=-f(x);f(-x)=f(x);原点；中 心；f(0)=0;y轴；轴；f(-x)=f(x)=f(|x|);必备；偶函数；偶函数1111121213131414151516161717181814特级教师王新敞源头学子（1）函数f(x)=1-x+x-1的奇偶性是；（2）已知函数f(x)=a-是奇函数，则a=.题型一 函数的奇偶性例1非奇非偶函数定义域为定义域为1,1,不关于原点对称！不关于原点对称！奇函数定义域内含有奇函数定义域内含有00，f(0)=0f(0)=015特级教师王新敞源头学子（1）因为f(x)的定义域是1，不关于原点
8、对称，所以f(x)为非奇非偶函数.（2）（方法一）由f(x)=-f(-x)=-(a-)2a=+=1a=.（方法二）由f(0)=0a=.16特级教师王新敞源头学子讨论函数f(x)=x+a/x(a0)的单调性.题型二 函数的单调性例2注注意意到到该该函函数数解解析析式式的的结结构构特特点点是是“增增函函数数+减减函函数数”的的形形式式，不不能能直直接接确确定定增增减减性性，需需一一边边分分析析、讨讨论论，一一边边论论证证，所所以以可可考考虑虑使使用用函函数数单单调性的定义的办法来判断调性的定义的办法来判断.17特级教师王新敞源头学子定义法.由于函数的定义域为x|xR且x0,且f(-x)=-f(x)
9、,所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论f(x)在(0,+)上的单调性.设0 x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-).当0 x11,18特级教师王新敞源头学子此时f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)在(0,上是减函数.当x1x2时，恒有0 1,此时f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)的性质，只需保证=4,即2b=16,得b=4.如果函数y=x+在(0,4上是减函数，在4,+)上是增函数,求实数b的值.20特级教师王新敞源头学子题型三 函数单调性的综合应用例3 已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数，则a的取
10、值范围是()BA.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.2,+)uu=2-=2-ax0ax0yy=loglogaauuxx0,10,121特级教师王新敞源头学子注意到参数a0,所以内层函数u=2-ax在0,1上是减函数，根据复合函数单调性的判断方法，知外层函数y=logau必为增函数，因此a1.又内层函数u=2-ax在0,1上必须保证函数值均大于0，只需其最小值uminu(1)=2-a0,从而a2,所以满足题目要求的a的取值范围是(1,2)，故选B.22特级教师王新敞源头学子1.在研究函数的单调性时，要掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，要注意单调区间是定
11、义域的子集.2.函数的单调性的证明方法：定义证明法.3.判断函数的单调性的方法：观察法；图象法；定义法；复合函数法；23特级教师王新敞源头学子4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反,且f(x)=f(-x)=f(|x|).5.函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论函数的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点：(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的；24特级教师王新敞源头学子(2)f(-x)=-f(x或f(-x)=f(x)和f(x+T)=f(x)(T0)是定义域上的恒等式;(3)若 T是 f(x)的 一 个 周 期，则 kT(k0，kZ)也是f(x)的周期.f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称；若f(x)为周期函数,则f(x)的图象周期性出现.6.判断函数的奇偶性的方法：定义法；图象法.25特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！26特级教师王新敞源头学子
