1、课后素养落实(十三)双曲线及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24答案A2椭圆1和双曲线1有相同的焦点，则实数n的值是()A5B3C5 D9B由题意知，34n2n216，2n218，n29n33双曲线1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A1或21B14或36C2D21D设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|11，根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2a10，所以|P
2、F2|1或|PF2|21，而1ca752，故舍去|PF2|1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D4若双曲线x2ky21的一个焦点是(3，0)，则实数k()ABCDB因为双曲线x2ky21的一个焦点是(3，0)，故19，所以k，故选B5若kR，则“k3”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A若方程表示双曲线，则(k3)(k3)0，k3，故k3是方程表示双曲线的充分不必要条件二、填空题6已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)7已知F1、F2是
3、双曲线1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|QF2|PQ|的值是_16由双曲线方程得，2a8由双曲线的定义得|PF2|PF1|2a8，|QF2|QF1|2a8，得|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)16，所以|PF2|QF2|PQ|168已知P是双曲线x2y216的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_8将x2y216化为标准形式为1，所以a216，2a8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|PF2|8三、解答题9已知椭圆C：1(ab0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kP
4、N，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C：1写出具有类似特殊的性质，并加以证明解类似的性质如下：若M，N为双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值其证明过程如下：设P(x，y)，M(m，n)，则N(m，n)，其中1，即n2(m2a2)kPM，kPN又1，即y2(x2a2)，y2n2(x2m2)kPMkPN故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值10已知双曲线y21，求过点A (3，1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程
5、为y1k(x3)，即ykx3k1，由 消去y，整理得(14k2)x28k(3k1)x36k224k80设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2A(3，1)为MN的中点，3，即3，解得k当k时，满足0，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上， 两式相减，得yy，点A平分弦MN，x1x26，y1y22kMN经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y5011已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8B在PF1F2中，由余弦
6、定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2|F1F2|2，又F1PF260，|F1F2|2，则|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|8，(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2a2，则4|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|412已知动点P(x，y)满足2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左支C双曲线右支D一条射线C方程2的几何意义是动点P(x，y)到点与的距离之差为2，又因为2|F1F2|4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支13(多选题)已知F1(3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|PF2|2m1的动点P的轨
7、迹是双曲线的一支则下列数据中，m可以是()AB2C1D3BC由双曲线定义得m且m故选BC14(一题两空)设P是双曲线x21的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|PF|的最小值为_；|PB|PF|的最小值为_2设双曲线的另一焦点为F，则有F(2，0)，F(2，0)，连接AF(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|PF|PA|(|PF|2)|AF|22；|PB|PF|BF|15由双曲线1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N的坐标解由双曲线方程知a3，b2，c如右图，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得|NF1|NF2|PF1|PF2|2a又|NF1|NF2|2c由得|NF1| ac|ON|NF1|OF1| acca3故切点N的坐标为(3，0)根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(3，0)
