1、第30讲解斜三角形1特级教师王新敞源头学子1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题.2特级教师王新敞源头学子1.在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=()DA.3 B.3 C.4 D.4由正弦定理得=,所以AC=4 .3特级教师王新敞源头学子2.在ABC中，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=()DA.B.C.D.因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac.又c=2a,所以b2=2a2,所以cosB=.4特级教师王新敞源头学子3.在ABC中,sinA:sinB:sinC=2
2、:(+1),则三角形的最小内角是()A.60 B.45 C.30 D.以上答案都错由正弦定理=2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2(+1).因为a为最小值，所以A为最小内角.因为cosA=,且A(0,60)，所以A=45，故选B.B5特级教师王新敞源头学子4.某人向正东方向走了x km，他向右转150,然后朝新方向走了 km，结果他离出发点恰好为千米，那么x的值是（）CA.B.2C.2 或D.3先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，选C.6特级教师王新敞源头学子5.已知ABC的三个内角A、B、
3、C成等差数列，且AB=1,BC=4，则边BC上的中线AD的长为，SACD=.由已知，B=60，AB=1，BD=2.由余弦定理知AD=.7特级教师王新敞源头学子又cosADB=,又0ADB180，所以ADB=30，所以ADC=150，所以SACD=ADDCsinADC=.8特级教师王新敞源头学子1.正弦定理及变式(1)=2R;(2)a=2RsinA,b=,c=2RsinC;(3)sinA=,sinB=,sinC=;(4)sinAsinBsinC=abc.(5)在下列条件下，应用正弦定理求解:()已知两角和一边，求其他边和角；()已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他边和角.2RsinB9
4、特级教师王新敞源头学子2.余弦定理及变式(1)a2=b2+c2-2bccosA;b2=;c2=a2+b2-2abcosC.(2)cosA=;cosB=;cosC=.a2+c2-2accosB10特级教师王新敞源头学子(3)在下列条件下，应运用余弦定理求解:()已知三边，求三个角；()已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；()已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.(此类问题需要讨论)3.三角形的面积公式S=absinC=bcsinA.acsinB11特级教师王新敞源头学子4.应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)根据题意画出示意图；(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角
5、形的已知条件和未知条件；(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；(4)给出答案.12特级教师王新敞源头学子题型一 正弦定理的应用例1 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求角A、C及边c.由正弦定理，得sinA=,因为ba,所以BA,所以A=60或120.13特级教师王新敞源头学子已知两边和其中一边的对角解三角形问题,用正弦定理解,求得sinA=时，要注意角A是锐角还是钝角，若不能确定，则需分类讨论.(1)当A=60时，C=75，所以c=.(2)当A=120时，C=15，所以c=.14特级教师王新敞源头学子题型二 余弦定理的应用例2钝角ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b
6、、c，sinC=,(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角A、B、C.15特级教师王新敞源头学子由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得(c-b)a2+b3=c3,所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0,即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以b=c或b2+bc+c2-a2=0,当b=c时，有B=C，所以C为锐角，又sinC=,所以B=C=45,所以A=90，这与ABC为钝角三角形矛盾.16特级教师王新敞源头学子当b2+bc+c2-a2=0时，b2+c2-a2=-bc,所以cosA=-,所以A=120，又sinC=且C为锐角，所以C=45，所
7、以B=180-A-C=15，综上可知,A=120,B=15,C=45.若将边化角,常用三角函数公式来化简;若将角化边,则常通过因式分解来得到.17特级教师王新敞源头学子题型三 正弦定理、余弦定理在平面几何中的综合应用例3 已知圆内接四边形的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求 四 边形ABCD的面积.18特级教师王新敞源头学子如图，连接BD，设四边形ABCD的面积为S，则S=SABD+SBCD =ABADsinA+BCCDsinC,因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以A+C=180，所以sinA=sinC,cosA=-cosC,所以S=(ABAD+BCCD)sinA=16sinA,1
8、9特级教师王新敞源头学子在ABD中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=22+42-224cosA=20-16cosA.在BCD中，由余弦定理同样可得，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA.由BD2=BD2，得20-16cosA=52+48cosA，即cosA=-,又A(0,)，所以A=120,所以S=16sin120=8 .将四边形转化为三角形问题，创造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题.20特级教师王新敞源头学子正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或统一.一般的，利用公式a=2RsinA等（R为外接圆半径），可将边转化角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理；利用公式cosA=等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边.21特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！22特级教师王新敞源头学子
