1、第八节离散型随机变量的均值与方差正态分布最新考纲考情分析核心素养1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.主要考查随机变量的极值与方差的求法，多在解答题中涉及，正态分布多为选择题、填空题，分值为5分.1.数学建模2.数学运算知识梳理1均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)若YaXb，其中a，b为常数
2、，则Y也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b(3)若X服从两点分布，则E(X)p；若XB(n，p)，则E(X)np2方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1，2，n)相对于均值E(X)的偏离程度而D(X)为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差(2)D(aXb)a2D(X)(3)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(4)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)3正态分布(1)正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是
3、单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(2)正态分布的三个常用数据P(X)0.682_7；P(2X2)0.954_5；P(32c1)P(XE(Y2)，该医院选择延保方案二较合算名师点津利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见不同，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策
4、|跟踪训练|2(2020届贵阳摸底)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束；若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，则员工获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，则员工进行第二次抽奖，在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元，若未中奖，则所获得的奖金为0元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位：元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择
5、方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)由题意知，X的所有可能取值为0，500，1 000，则P(X0)，P(X500)，P(X1 000)，某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X的分布列为X05001 000P(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)05001 000520；若选择方案乙进行抽奖，则中奖次数B，E()3，抽奖所获奖金Y的期望E(Y)E(400)400E()480.因为520480，故选择方案甲更划算【例】(2019届大连模拟)某钢管生产车间生产一批钢管(大量)，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65，4
6、.84)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，(1)请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果从该批钢管中随机抽取100根，设其直径满足在60.665 mm内的根数为随机变量.求随机变量的数学期望；求使P(k)取最大值时的整数k的值附：若随机变量Z服从正态分布ZN(，2)，则P(Z)0.682 7；P(2Z2)0.954 5；P(371.6)0.001 4.测得一根钢管的直径为73 mm为小概率事件，故该质检员的决定有道理(2)65，2.2，260.6，由题意P(2X)0.477 3，B(100，0.477 3)E(
7、)1000.477 247.73(根)；P(k)C0.477 3k0.522 7100k，设P(Xk)最大，则即解得47.207 3k48.207 3.kN*，使P(Xk)取最大值时的整数k48.名师点津求解此类问题的关键是理清条件中变量之间的关系，弄准数据，准确运算是解决这类问题的注意点|跟踪训练|(2019届武汉市武昌区高三调考)某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：分组85，95)95，105)105，115)115，125)125，135)135，145)145，1
8、55频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(1)求P(132.2l144.4)；(2)公司规定：当l115时，产品为正品；当l115时，产品为次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望参考数据：12.2.若XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3.解：(1)由题意知，抽取产品质量指标值的样本平均数x900.021000.091100
9、.221200.331300.241400.081500.02120，抽取产品质量指标值的方差s29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150.所以lN(120，150)，又12.2，所以P(l)P(120l132.2)0.682 70.341 4，P(l2)P(120l144.4)0.954 50.477 3.所以P(132.2l144.4)P(120l144.4)P(120l132.2)0.135 9.(2)由频数分布表得，P(l115)0.020.090.220.33，P(l115)10.330.67.随机变量的取值为90，30，且P(90)0.67，P(30)0.33，所以随机变量的分布列为9030P0.670.33所以E()900.67300.3350.4.
