广东省湛江市2015届高考数学二模试卷（理科） WORD版含解析.doc

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1、广东省湛江市2015届高考数学二模试卷（理科）一.选择题1（5分）已知集合M=x|2x31，集合N=x|（x+1）（x3）0，则MN=（）AMBNCx|1x2Dx|x32（5分）已知z是复数，i是虚数单位，若zi=1+i，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）设随机变量服从正态分布N（3，4），若P（2a3）=P（a+2），则a的值为（）ABC5D34（5分）一个几何体的三视图如图，正视图和俯视图都是由一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为（）A5B6C7D95（5分）在如图所示的程序框图中，输出的i和x的值分别为（）A3，21B3，22C4，21D4，22

2、6（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则f+f=（）A3B2C1D07（5分）若平面向量=（1，2）与的夹角是180，且|=3，则坐标为（）A（6，3）B（6，3）C（3，6）D（3，6）8（5分）对于任意正整数n，定义“n!”如下：当n是偶数时，n!=n（n2）（n4）642，当n是奇数时，n!=n（n2）（n4）531，且有n!=n（n1）（n2）321则有四个命题：=2016！2016！=220181008！2015！的个位数是52014！的个位数是0其中正确的命题有（）A1个B2个C3个D4个二.填空题9（5分）曲线y=x+sinx

3、在点（0，0）处的切线方程是10（5分）双曲线的离心率等于11（5分）=12（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是名13（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，在U中任取四个元素组成的集合记为A=a1，a2，a3，a4，余下的四个元素组成的集合记为UA=b1，b2，b3，b4，若a1+a2+a3+a4b1+b2+b3+b4，则集合A的取法共有种坐标系与参数方程选做题14（5分）直线L的参数方程为（t为参数），则直线L的倾斜角为几何证明题15在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若

4、，则EF的长为三.解答题16（12分）设函数f（x）=cosx（xR）（1）求函数f（x）在区间0，上的值域；（2）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=1，且a=b，求sinB的值17（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀（1）根据以上频率表的数据，完成下面的22列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间的关系？（3）若从成绩及在130，140的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少有1名女生的概率分

5、组频率男生女生80，9000.0290，1000.040.08100，1100.060.12110，1200.100.18120，1300.180.10130，1400.080.0418（14分）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ADDC，且CD=2，AB=AD=1，BCD=45（1）若点M是PD的中点，证明：AM平面PBC（2）若PBC的面积为，求二面角BPCD的余弦值19（14分）数列an的前n项和记为Sn，对任意的正整数n，均有4Sn=（an+1）2，且an0（1）求a1及an的通项公式；（2）令b，求数列bn的前n项和Tn20（14分）已知曲线E上的任意一点到F1（

6、0，）和点F2（0，）的距离之和为4（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）求四边形ABCD面积的最大值21（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a0xR）（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求f（x）；（2）设F（x）=，mn0，m+n0，a0，且函数f（x）为偶函数，证明：F（m）+F（n）0；（3）设g（x）=，g（x）的导函数是g（x），当a=b=1时，证明：对任意实数x0，f（x）1g（x）1+e2广东省湛江市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.

8、i=i（1+i），z=i+1故选：B点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题3（5分）设随机变量服从正态分布N（3，4），若P（2a3）=P（a+2），则a的值为（）ABC5D3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：随机变量服从正态分布N（3，4），P（2a3）=P（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故选A点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直

9、线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目4（5分）一个几何体的三视图如图，正视图和俯视图都是由一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为（）A5B6C7D9考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：首先根据三视图来把复原图求出来，进一步求出几何体的表面积解答：解：根据三视图得：该几何体是上边是一个半径为1的半球，下面是一个由半径为1，高为2的圆柱组成的几何体所以该几何体的表面积是：S表=2+22+=7，故选：C点评：本题考查的知识要点：三视图的应用问题及几何体的表面积公式的应用5（5分）在如图所示的程序框图中，输出的i和x的值分别为（）A3

10、，21B3，22C4，21D4，22考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，i的值，当a=2时，满足条件a0，退出循环，输出i的值为4，s的值为22解答：解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=0，s=0，s=10，a=7，i=1不满足条件a0，s=17，a=4，i=2不满足条件a0，s=21，a=1，i=3不满足条件a0，s=22，a=2，i=4满足条件a0，退出循环，输出i的值为4，s的值为22，故选：D点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题6（5分）设f（x）是

11、定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则f+f=（）A3B2C1D0考点：函数的周期性专题：函数的性质及应用分析：根据函数的周期性以及函数的图象进行求解即可解答：解：由图象知f（1）=1，f（1）=2，f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，f+f=f（1）+f（1）=1+2=3，故选：A点评：本题主要考查函数值的求解，根据函数的周期性进行转化是解决本题的关键7（5分）若平面向量=（1，2）与的夹角是180，且|=3，则坐标为（）A（6，3）B（6，3）C（3，6）D（3，6）考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：待定系数法分析：设=（x，y），由

12、两个向量的夹角公式得 cos180=1=，利用两个向量的模、数量积公式，化简得x2y=15，再根据 =3，解方程组求出x，y的值，进而得到的坐标解答：解：设=（x，y），由两个向量的夹角公式得 cos180=1=，x2y=15 ，=3 ，由联立方程组并解得x=3，y=6，即 =（3，6），故选 D点评：本题考查两个向量的夹角公式的应用，向量的模的定义，待定系数法求出的坐标8（5分）对于任意正整数n，定义“n!”如下：当n是偶数时，n!=n（n2）（n4）642，当n是奇数时，n!=n（n2）（n4）531，且有n!=n（n1）（n2）321则有四个命题：=2016！2016！=220181

13、008！2015！的个位数是52014！的个位数是0其中正确的命题有（）A1个B2个C3个D4个考点：进行简单的合情推理专题：推理和证明；排列组合分析：利用双阶乘的定义判断各个命题是解决该题的关键关键要理解好双阶乘的定义，把握好双阶乘是哪些数的连乘积解答：解：根据题意，依次分析四个命题可得：对于，=（246820082010201220142016）（13572009201120132015）=1234520122013201420152016=2016!，故正确；对于，2016!=24681020082010201220142016=21008（12341008）=210081008!，故

14、正确；对于，2015!=20152011200931，其个位数字与13579的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确；对于，2014!=24682008201020122014，其中含有10，故个位数字为0，故正确；故选：D点评：本题考查新定义型问题的求解思路与方法，考查新定义型问题的理解与转化方法，体现了数学中的转化与化归的思想方法注意与学过知识间的联系二.填空题9（5分）曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是y=2x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：求函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程解答：解：因为y=x+sin

15、x，所以y=1+cosx，所以当x=0时，y=1+cos0=1+1=2，即切线斜率k=2，所以切线方程为y0=2（x0），即y=2x故答案为：y=2x点评：本题主要考查导数的计算，利用导数的几何意义求切线斜率是解决本题的关键，比较基础10（5分）双曲线的离心率等于考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率解答：解：由双曲线可知a=3，b=4所以c=5离心率e=故答案为点评：本题考查双曲线的基本性质，难度不大，解题时注意不要弄混了双曲线和椭圆的性质11（5分）=5考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：原式转化为|x1|

16、dx=（x1）dx+（1x）dx，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：|x1|dx=（x1）dx+（1x）dx=（x2x）|+（xx2）|=+=5，故答案为：5点评：本题考查了定积分的计算，属于基础题12（5分）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师最多是10名考点：简单线性规划的应用专题：数形结合分析：由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大解答：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件

17、，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+yy=x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线为过（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10故答案为：10点评：此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想13（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，在U中任取四个元素组成的集合记为A=a1，a2，a3，a4，余下的四个元素组成的集合记为UA=b1，b2，b3，b4，若a1+a2+a3+a4b1+b2+b3+b4，则集合A的取法共有31种考点：子集与真子集；补集及其运算；排列、组合及简单

18、计数问题专题：排列组合分析：根据条件a1+a2+a3+a4b1+b2+b3+b4，确定满足条件的元素取值情况即可得到结论解答：解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，U中元素的和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，若a1+a2+a3+a4b1+b2+b3+b4，则S=a1+a2+a3+a418，U中任取4个元素的取法有，其中S=18的取法有以下8种：1，2，7，8；1，3，6，8；1，4，6，7；1，4，5，8；2，3，5，8；2，3，6，7；2，4，5，7；3，4，5，6对于其它708=62种取法，S要么大于18，要么小于18，如果S小于18，那么它属于A，如果S大于18，那么其补

19、集的元素和就小于18，属于A故A的取法共有种故答案为：31点评：本题主要考查排列组合的应用，根据条件结合集合关系是解决本题的关键坐标系与参数方程选做题14（5分）直线L的参数方程为（t为参数），则直线L的倾斜角为考点：参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：首先把直线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果解答：解：线L的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：y=，设直线的倾斜角为，则：tan由于直线倾斜角的范围为：0，）所以：故答案为：点评：本题考查的知识要点：直线的参数方程与直角坐标方程的互化，直线的倾斜角和斜率的关系几何证明题15在梯

20、形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若，则EF的长为考点：平行线分线段成比例定理专题：计算题分析：先设EF交AC与点H，利用平行线分线段成比例定理求出EH以及HF，即可求得EF的长解答：解：设EF交AC与点H，因为EFAD，且，所以有=，故EH=5=，同理=，得HF=2=所以：EF=故答案为：点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理解决本题的关键在于把EF的长转化为EH以及HF三.解答题16（12分）设函数f（x）=cosx（xR）（1）求函数f（x）在区间0，上的值域；（2）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=1，且a=b

21、，求sinB的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的定义域求函数的值域（2）利用（1）求出的函数关系式，进一步求出A的大小，在利用正弦定理求出结果解答：解：（1）函数f（x）=cosx=2（）=由于：，所以：则：函数f（x）的值域为：，1（2）由（1）知：f（A）=2cosA=1，解得：cosA=，由于：0A所以：A=且a=b，则：sinA=sinB，解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用余弦型函数的定义域求函数的值

22、域，利用函数的关系式求A得值，利用正弦定理函数的正弦值17（12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀（1）根据以上频率表的数据，完成下面的22列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间的关系？（3）若从成绩及在130，140的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少有1名女生的概率分组频率男生女生80，9000.0290，1000.040.08100，1100.060.12110，1200.100.18120，1300.180

23、.10130，1400.080.04考点：频率分布表专题：概率与统计分析：（1）根据直方图，易得到列联表的各项数据（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）利用列举法，分别列举出所有的基本事件，在列举出满足条件的基本事件，代入古典概型公式进行计算求解解答：解：（1）成绩性别优秀不优秀总计男生131023女生72027总计203050（2）由（1）中表格的数据知，K2=4.844K24.8443.841，有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系（3）成绩在130，140男生500.00810=4人，用1，2，3，4表示，女生有50

24、0.00410=2人，用5，6表示，故已知取到的第一个人是男生，从剩下的5人中任取2人，共有40种，分别为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，1，3），（2，1，4），（2，1，5），（2，1，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，1，2），（3，1，4），（3，1，5），（3，1，6），（3，2，4），（3，2，5），（3，2，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，1，2

25、），（4，1，3），（4，1，5），（4，1，6），（4，2，3），（4，2，5），（4，2，6），（4，3，5），（4，3，6），（4，5，6），其中至少有1名女生，有（1，2，5），（1，2，6），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，1，5），（2，1，6），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，1，5），（3，1，6），（3，2，5），（3，2，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，1，5），（4，1，6），（4，2，5），（4，2，6），（4，3， 5），（4，3，6

26、），（4，5，6），有28种，故取到的另外2人中至少有1名女生的概率P=点评：本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，数据处理能力、运算求解能力和应用意识18（14分）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ADDC，且CD=2，AB=AD=1，BCD=45（1）若点M是PD的中点，证明：AM平面PBC（2）若PBC的面积为，求二面角BPCD的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（1）取PC的中点N，连结MN、NB，则MNDC且MN=DC，从而四边形ABNM是平行四边形，利用线面平行的判定

27、定理即得结论；（2）连结BD，通过计算可得PB=2、PD=，建立坐标系Dxyz，则二面角BPCD的余弦值即为平面PBC的法向量与平面PDC的法向量的夹角的余弦值，计算即可解答：（1）证明：取PC的中点N，连结MN、NB，在PDC中，MN是中位线，MNDC，且MN=DC，由题AB=1、CD=2，可知，ABDC，AB=MN，ABMN，四边形ABNM是平行四边形，AMBN，又AM平面PBC，BN平面PBC，AM平面PBC；（2）解：连结BD，由题可知BAD为等腰直角三角形，所以BDC=45，由题设BCD=45，CBBD，又PD平面ABCD，PDBC，又PDBD=D，BC平面PBD，BCPB，PBC是

28、直角三角形，且BC=BD=，SPBC=BCPB=，PB=2，PD=，建立坐标系Dxyz如图，则B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），=（1，1，），=（0，2，），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则=x+y=0，=2y=0，取y=1，得=（1，1，），又平面PDC的法向量为=（1，0，0），则=，显然二面角BPCD为锐角，故所求余弦值为点评：本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题19（14分）数列an的前n项和记为Sn，对任意的正整数n，均有4Sn=（an+1）2，且an0（1）求a1及an的通项

29、公式；（2）令b，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）当n=1时，即得a1=1；当n2时，由递推关系得（an+an1）（anan12）=0，从而可得结论；（2）b=，对n分奇偶数讨论即可解答：解：（1）当n=1时，则a1=1；当n2时，由4Sn=（an+1）2，知4Sn1=（an1+1）2，联立两式，得4an=（an+1）2（an1+1）2，化简得（an+an1）（anan12）=0，an0，anan12=0，即an是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，故an=2n1；（2）b=，下面对n分奇偶数讨论：当n为偶数时，Tn=，当n为

30、奇数时，Tn=+=，所以Tn=点评：本题考查求数列的通项公式及前n项和，分类讨论的思想，属于中档题20（14分）已知曲线E上的任意一点到F1（0，）和点F2（0，）的距离之和为4（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）求四边形ABCD面积的最大值考点：双曲线的简单性质专题：不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）求出直线AC的方程，将直线y=kx（k0）与曲线E联立，求得B，D的坐标，运用点到直线的距离公式，

31、求得B，D到直线AC的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积的最大值解答：解：（1）由椭圆的定义可知，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a=4，即a=2，c=，b=1，即有曲线E的方程为+x2=1；（2）连接AC，直线AC：x+=1，即2x+y2=0，由y=kx代入椭圆方程可得，x=，即有B（，），D（，），B到AC的距离为d1=，D到AC的距离为d2=则四边形ABCD面积S=|AC|（d1+d2）=22=2当且仅当k=2取得等号即四边形ABCD面积的最大值为2点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程和直线方程联立求交点，同时考查点到直线的距离公式的

32、运用和基本不等式的运用，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a0xR）（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求f（x）；（2）设F（x）=，mn0，m+n0，a0，且函数f（x）为偶函数，证明：F（m）+F（n）0；（3）设g（x）=，g（x）的导函数是g（x），当a=b=1时，证明：对任意实数x0，f（x）1g（x）1+e2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质专题：导数的综合应用分析：（1）通过f（1）=0及f（x）的值域为0，+），结合根的判别式可得b=2，a=1，从而可得f（x）=（x+1）2；（2）由f（x）是偶函数

33、，知F（x）=，再利用mn0，即得结论；（3）通过f（x）=ax2+bx+1及a=b=1，问题等价于证明“对任意实数x0，（1xlnxx）1+e2”，然后分别研究i（x）=1xlnxx，与j（x）=，x0的最大值即可解答：解：（1）f（1）=0，ab+1=0，f（x）的值域为0，+），b24（b1）=0，从而b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）2；（2）f（x）是偶函数，b=0，即f（x）=ax2+1，F（x）=，mn0，不妨设m0，则n0，又m+n0，所以mn0，又a0，此时F（m）+F（n）0；（3）由f（x）=ax2+bx+1，a=b=1，得f（x）1=x2+x，g（x）=，则问题等

34、价于证明“对任意实数x0，1+e2”，即（1xlnxx）1+e2，下面先研究1xlnxx，再研究，记i（x）=1xlnxx，x0，则i（x）=lnx2，令i（x）=0，得x=e2，当x（0，e2）时，i（x）0，i（x）单调递增；当x（e2，+）时，i（x）0，i（x）单调递减；所以imax（x）=i（e2）=1+e2，即1xlnxx1+e2；记j（x）=，x0，则，所以f（x）在（0，+）上单调递减，所以j（x）j（0）=1，即；综合、，知：（1xlnxx）1+e2，即原不等式得证：对任意实数x0，f（x）1g（x）1+e2点评：本题考查利用导数判断函数的单调性以及求闭区间上的最值，考查运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力

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