1、高三数学（理）一轮复习 教案 第六编 数列 总第28期6.3 等比数列及其前n项和基础自测1.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则= .答案 2.等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 .答案 1或-3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= ,ac= .答案 -3 94.在等比数列an中，已知a1a3a11=8，则a2a8= .答案 45.（2008浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+anan+1= .答案 (1-4-n)例题精讲例1 已知an为等比数列，a3=2，a2+a4=，求an的
2、通项公式.解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q0， a2=，a4=a3q=2q，+2q=.解得q1=，q2=3.当q=时，a1=18，an=18()n-1=233-n.当q=3时，a1=，an=3n-1=23n-3.an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.当a2=时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当a2=6时，q=,an=233-nan=23n-3或an=233-n.例2、已知数列an的前n项和为Sn，且对任意nN*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列bn是等比数列
3、；（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n2)，求cn的通项公式.（1）证明 由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1.2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.数列bn是以b1=a1-1=-为首项， 为公比的等比数列. （2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.2an=an-1+1 (n2),2an+1-2an=an-an-1,2cn+1=cn (n2).又c1=a1=,a2+a1+a2=2,a2=.c2=-=,即c2=c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列cn=()n-1
4、=()n. 方法二 由（1）bn=(-)()n-1=-()n.an=-()n+1，cn=-()+1-=-=（n2），又c1=a1=也适合上式，cn= 例3 在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且+=2,求a3.解 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列，也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,a=（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得： +=2.a=4.a3=2.例4 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米
5、，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+(n-1)d=100n+50=3 250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列bn，则其和为T=b1+b2+b10=2001.110+3001.19+1
6、1001.11.0（万立方米）.答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.巩固练习 1.已知等比数列an中，a3=,S3=4,求a1.解 当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,当q1时，依题意有,解得q2=,a1=6.综上可得：a1=或a1=6.2.设数列an是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列an中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,nt, （tN*）满足5n1n2nt使得a3,a5,是等比数列，求数列nt的通项公式.解 （1）设an的公差为d,则由a5=a3+2d,得d=,由ama3=a,即3=
7、62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）a3=2，a5=6，d=2，当n5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5, ,成等比数列，则q=3,=a53t,t=1,2,3,. 又an=2n-4,2n-4=a53t=63t,2n=23t+1+4.即n=3t+1+2,t=1,2,3,.3.（1）在等比数列an中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列an中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).a5+a
8、6=4.（2）a3a5=a，a3a4a5=a=8，a4=2，又a2a6=a3a5=a，a2a3a4a5a6=a=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，
9、则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以an+1=92%an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),是以-为首项，为公比的等比数列，则an+1=-n,an+150%,-n,n ,nlog=3.则当n4时，不等式n 恒成立，所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.（2008福建理）设an是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列an的前7项的和为 .答案 1272.若数列an的前n项和Sn=3n-a，
10、数列an为等比数列，则实数a的值是 .答案 13.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，的值为 .答案 4.等比数列an前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 .答案 T175.已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-，则x的值为 .答案 6.已知等比数列an中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6= .答案 4807.设数列an的前n项和为Sn，Sn=（对于所有n1)，且a4=54，则a1的值是 .答案 28.设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an= .答案 2n-1或
11、-（-2）n-1二、解答题9.数列an的前n项和为Sn，且Sn=(an-1).（1）求a1,a2; (2)证明：数列an是等比数列；（3）求an及Sn.（1）解 a1=S1=（a1-1），a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),a2=.(2)证明 Sn=（an-1），Sn+1=（an+1-1），两式相减，得an+1=an+1-an,即an+1=-an,数列an是首项为-，公比为-的等比数列.（3）解 由（2）得an=-(-)n-1=-(-)n, Sn=.10.数列an中，a1=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (nN*).(1)求a3,a4,a
12、5,a6的值；（2）求证：bn是等比数列.（1）解 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=a1a23n-1=23n，a3=6，a4=9，a5=18，a6=27.（2）证明 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，a1，a3，a5,，a2n-1，与a2,a4,a6，a2n，都是公比为3的等比数列.a2n-1=23n-1,a2n=33n-1，bn=a2n-1+a2n=53n-1.=3，故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN*），其中m为常数，且m-3,m0.（1）
13、求证：an是等比数列；（2）若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1) (nN,n2),求证：为等差数列，并求bn.证明 （1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m-3,=0 (n1).an是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,b1=1. q=f(m)= ,nN且n2时，bn=f(bn-1)= ， bnbn-1+3bn=3bn-1，推出-=.是以1为首项、为公差的等差数列.=1+=.bn=.12.（2008四川文，21）设数列an的前n项和Sn=
14、2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：an+1-2an是等比数列；（3）求an的通项公式.(1)解 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1. ，所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8, a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明 由题设和式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)2n-1.180
