1、2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1已知全集U0，1，2，3，4，5，集合A0，1，2，B5，那么（UA）B（）A0，1，2B3，4，5C1，4，5D0，1，2，52已知三个函数yx3，y3x，ylog3x，则（）A定义域都为RB值域都为RC在其定义域上都是增函数D都是奇函数3平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A（3，3）B（5，1）C（3，1）D（3，3）4双曲线C：x21的渐近线与直线x1交于A，B两点，且|AB|4，那么双曲线C的离心率为（）ABC2D5已知函数
2、f（x）logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）ax+b的图象可能为（）ABCD6已知向量（0，5），（4，3），（2，1），那么下列结论正确的是（）A与为共线向量B与垂直C与的夹角为钝角D与的夹角为锐角7九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A135平方米B270平方米C540平方米D1080平方米8已知函数f（x）lnx+ax2，那么“a0”是“f（x）在（0，+）上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必
3、要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（）A1B1C1D1+10函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x），g（x）f（x+a）（aR）给出下列四个判断：对于给定的正整数n，存在aR，使得成立；当a时，对于给定的正整数n，存在kR（k1），使得成立；当ak（kZ）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；当ak（kZ）时，g（x）+f（x）的值只有0或其中正确判断的有（）A1个B2个C3个
4、D4个二、填空题共5题，每题5分，共25分11复数z的共轭复数为 12已知cos2，则cos2（）2cos2（）的值为 13设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：若m，n，则mn；若m，m，则；若，则其中，正确结论的序号为 14从下列四个条件ac；C；cosB；b中选出三个条件，能使满足所选条件的ABC存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为 15配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生
5、产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16如图，四边形ABCD中，ADBC，CDBC，BCCD1，AD2，E为AD中点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图（）求证：平面A1EB平面A1ED；（）若A1ED90，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值17已知an为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a31，S33a2
6、+1bn为等差数列，其前n项和为Tn，如图_，Tn的图象经过A，B两个点（）求Sn；（）若存在正整数n，使得bnSn，求n的最小值从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答18某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（0），P（4）（）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（）求a，b的值；（）假设有十名报了项目
7、A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断E如何变化（结论不要求证明）19已知椭圆C：1（ab0）的一个顶点坐标为A（0，1），离心率为（）求椭圆C的方程；（）若直线yk（x1）（k0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上20已知f（x）ex+sinx+ax（aR）（）当a2时，求证：f（x）在（，0）上单调递减；（）若对任意x0，f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围21设数列：A：a1，a2，an，B：b1，b2，bn已知ai，bj0，1（i1，2，n；j1，2，n），定义nn数
8、表，其中xij（）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；（）若A，B是不同的数列，求证：nn数表X（A，B）满足“xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij）”的充分必要条件为“ak+bk1（k1，2，n）”；（）若数列A与B中的1共有n个，求证：nn数表X（A，B）中1的个数不大于参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集U0，1，2，3，4，5，集合A0，1，2，B5，那么（UA）B（）A0，1，2B3，4，5C1，4，5D0，1，2，5【分析】进行补集和并集的运算即可解：U0，1，2，3，4，5，A
9、0，1，2，B5，UA3，4，5，（UA）B3，4，5故选：B2已知三个函数yx3，y3x，ylog3x，则（）A定义域都为RB值域都为RC在其定义域上都是增函数D都是奇函数【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可解：函数ylog3x的定义域为（0，+），即A错误；函数y3x的值域是（0，+），即B错误；函数y3x和ylog3x是非奇非偶函数，即D错误，故选：C3平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A（3，3）B（5，1）C（3，1）D（3，3）【分析】设D（x，y），由四边形ABCD
10、为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标解：设D（x，y），点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，（x，y1）（3，2），解得x3，y3，D点的坐标为（3，3）故选：A4双曲线C：x21的渐近线与直线x1交于A，B两点，且|AB|4，那么双曲线C的离心率为（）ABC2D【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线x1联立求出|AB|的值，进而求出|b|的值，求出双曲线的离心率解：由双曲线的方程可得a1，且渐近线的方程为：ybx，与x1联立可得yb，所以|AB|2b|，由题意可得42|b|，解得|b|2，c2a2+b2，所以双曲线的离心率e，故
11、选：D5已知函数f（x）logax+b的图象如图所示，那么函数g（x）ax+b的图象可能为（）ABCD【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）b1，a1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，yax+b的图象单调递增，且由yax的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断解：结合已知函数的图象可知，f（1）b1，a1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，yax+b的图象单调递增，且由yax的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意故选：D6已知向量（0，5），（4，3），（2，1），那么下列结论正确的是（）A与为共线向量B与垂直C与的夹角为钝角D与的夹角为锐角【分析】根据题意，
12、求出向量（）的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案解：根据题意，向量（0，5），（4，3），（2，1），则（4，8），又由（2，1），有（4）（1）（2）8，则（）与不是共线向量，（2，1），则（）（4）（2）+（1）80，则（）与垂直；故选：B7九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A135平方米B270平方米C540平方米D1080平方米【分析】根据扇形的面积公式计算即可解：根据扇形的面积公式，计算
13、扇形田的面积为Slr45270（平方米）故选：B8已知函数f（x）lnx+ax2，那么“a0”是“f（x）在（0，+）上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）2ax，a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，故a0f（x）递增，是充分条件，由f（x）递增，得a0或a0，不是必要条件，故选：A9已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体
14、积是（）A1B1C1D1+【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为，高为1的半个圆柱如图所示：所以：V故选：C10函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知f（x），g（x）f（x+a）（aR）给出下列四个判断：对于给定的正整数n，存在aR，使得成立；当a时，对于给定的正整数n，存在kR（k1），使得成立；当ak（kZ）时，函数g（x）+f（x）既有对称轴又有对称中心；当ak（kZ）时，g（x）+f（x）的值只有0或其中正确判断的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】对
15、于，易知当时，nN，都符合；对于，即成立，取k0即可证明结论成立；对于，分别取k1，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出对错；综合即可得出正确选项解：对于，要使成立，即，当时，nN，都符合，故正确；对于，要使成立，即，取k0，此时，故正确；对于，当k1，k3时，g（x）为将f（x）左移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，当k2时，g（x）为将f（x）左移个单位，此时g（x）+f（x）0，当k4时，g（x）为将f（x）左移T个单位，此时g（x）+f（x）2f（x），故正确，错误；故选：C二、填空题共5题，每题5分，共25分11复数z的共轭复数为1+i【分析】利用复数代数形
16、式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案解：z，故答案为：1+i12已知cos2，则cos2（）2cos2（）的值为1【分析】由cos2求得cos2的值，再化简并计算所求三角函数值解：由cos2，得2cos21，即cos2；所以cos2（）2cos2（）sin22cos213cos2131故答案为：113设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：若m，n，则mn；若m，m，则；若，则其中，正确结论的序号为【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断解：，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直
17、线，对于，若m，n，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得mn，故正确；对于，若m，m，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故正确；对于，若，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确故答案为：14从下列四个条件ac；C；cosB；b中选出三个条件，能使满足所选条件的ABC存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为，或者，【分析】由结合正弦定理可得，可求sinA，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有，只能是或，若选，结合余弦定理可求c；若选，结合正弦定理即可求解解：由结合正弦定理可得，所以sinAsinC，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有，故只能
18、是或，若选ac，cosB，b，由余弦定理可得，解可得，c；若选，C，cosB，b，sinB，且B为钝角，由正弦定理可得，解可得，c故答案为，15配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为5【分析】求出每
19、天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论解：每个周期内的总费用为5000+400+4002+4003+400（n1）5000+200n（n1），每个周期内每天的平均费用为：200n20022001800，当且仅当200n即n5时取等号故答案为：5三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16如图，四边形ABCD中，ADBC，CDBC，BCCD1，AD2，E为AD中点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图（）求证：平面A1EB平面A1ED；（）若A1ED90，求A1C与平面A1BD所成角的正弦值【分析】（）证明BEADBEA1E，BEDE然后证明BE平面A1D
20、E即可证明平面A1EB平面A1DE（）建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系Exyz求出平面A1BD的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线A1C与平面A1BD所成角的正弦函数值【解答】（）证明：因为四边形ABCD中，ADBC，CDBC，BC1，AD2，E为AD中点，所以 BEAD故 图中，BEA1E，BEDE又 因为A1EDEE，A1E，DE平面A1DE，所以 BE平面A1DE又 因为BE平面A1EB，所以 平面A1EB平面A1DE（）解：由A1ED90得A1EDE，又 A1EBE，BEDE，因此，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz由A1ECDDE1，得A1（0
21、，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），设平面A1BD的法向量为（x，y，z），则即，令z1得x1，y1，所以（1，1，1）是平面A1BD的一个法向量又 ，设直线A1C与平面A1BD所成角为，所以17已知an为等比数列，其前n项和为Sn，且满足a31，S33a2+1bn为等差数列，其前n项和为Tn，如图_，Tn的图象经过A，B两个点（）求Sn；（）若存在正整数n，使得bnSn，求n的最小值从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答【分析】（）设an为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；（）
22、分别考虑图、，判断数列bn的单调性，选择均可能满足“存在n，使得bnSn”讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值解：（）设an为公比为q的等比数列，由a31，S33a2+1，得a12a2，即q，a1q21，所以，a14所以；（）由图知：T1b11，T33，可判断d0，数列bn是递减数列；而823n递增，由于b1S1，所以选择不满足“存在n，使得bnSn”；由图知：T1b11，T36，可判断d0，数列bn是递增数列；由图知：T1b13，T30，可判断d0，数列bn是递增数列所以选择均可能满足“存在n，使得bnSn”第一种情况：如果选择条件即T1b11，T36，可得：d1
23、，bnn当n1，2，3，4，5，6，7时，bnSn不成立，当n8时，所以 使得bnSn成立的 n的最小值为8第二种情况：如果选择条件即T1b13，T30，可得：d3，bn3n6当n1，2，3，4时，bnSn不成立，当n5时，成立，所以 使得bnSn成立的n的最小值为518某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（0），P（4
24、）（）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（）求a，b的值；（）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断E如何变化（结论不要求证明）【分析】（）由，得a60，且b80设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率（）由题意可知，由此能求出a，b（）E变大解：（）因为，所以a60，且b80设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；设事件B表示“甲同学被项目
25、B招募”，由题意可知，；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 ，（）由题意可知，解得a120，b160（）E变大19已知椭圆C：1（ab0）的一个顶点坐标为A（0，1），离心率为（）求椭圆C的方程；（）若直线yk（x1）（k0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上【分析】（）利用已知条件列出求出a，b然后得到椭圆方程（）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y
26、0）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上【解答】（）解：由题意可知解得所以椭圆C的方程为（）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）由得 （4k2+1）x28k2x+4k240，所以（8k2）24（4k2+1）（4k24）48k2+16所以当k为任何实数时，都有0所以 ，因为线段PQ的中点为M，所以 ，因为 B（1，0），所以 ，所以 又因为 k0，所以 ，所以点M不在以AB为直径的圆上20已知f（x）ex+sinx+ax（a一、选择题）（）当a2时，求证：f（x）在（，0）上单调递减；（）若对任意x0，f
27、（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围【分析】（I）把a2代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；（II）由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；（III）结合最值与极值及导数关系可求【解答】（）解：a2，f（x）ex+cosx2，当 x0时，ex1，cosx1，所以 f（x）ex+cosx20所以f（x）在（，0）上单调递减（）解：当x0时，f（x）11，对于aR，命题成立，当 x0时，设g（x）ex+cosx+a，则g（x）exsinx因为 ex1，sinx1，所以 g（x）exs
28、inx110，g（x）在（0，+）上单调递增又g（0）2+a，所以g（x）2+a所以f（x）在（0，+）上单调递增，且f（x）2+a当a2时，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增因为 f（0）1，所以f（x）1恒成立当a2时，f（0）2+a0，因为f（x）在0，+）上单调递增，又当 xln（2a）时，f（x）a+2+cosx+a2+cosx0，所以 存在x0（0，+），对于x（0，x0），f（x）0恒成立所以 f（x）在（0，x0）上单调递减，所以 当x（0，x0）时，f（x）f（0）1，不合题意综上，当a2时，对于x0，f（x）1恒成立（）解：a021设数列：A：a1，a2，an
29、，B：b1，b2，bn已知ai，bj0，1（i1，2，n；j1，2，n），定义nn数表，其中xij（）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；（）若A，B是不同的数列，求证：nn数表X（A，B）满足“xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij）”的充分必要条件为“ak+bk1（k1，2，n）”；（）若数列A与B中的1共有n个，求证：nn数表X（A，B）中1的个数不大于【分析】（I）根据xij得出X（A，B）的各行各列的数值；（II）根据aibjai1ajai+aj1aj1aiajbi证明充分性，根据a1，b1的各种不同取值分类证明必要性；（III）讨论ai的不同取值，计
30、算X（A，B）的第i行中1的个数，从而得出X（A，B）中1的总数，利用基本不等式得出结论【解答】（）解：（）证明：充分性若ak+bk1（k1，2，n），由于xij，xji，令 A：a1，a2，an，由此数列 B：1a1，1a2，1an由于 aibjai1ajai+aj1aj1aiajbi从而有 xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij）必要性若xijxji（i1，2，n；j1，2，n；ij）由于A，B是不同的数列，（1）设a11，b10，对任意的正整数k1，若x1kxk11，可得 a1bk1，akb10，所以 ak+bk1若x1kxk10，可得 bk0，ak1，所以 ak+bk1同理可证
31、 a10，b11时，有ak+bk1（k1，2，n）成立（2）设a11，b11，对任意的正整数k1，若x1kxk11，可得a1bk1，akb11，所以有akbk1，则A，B是相同的数列，不符合要求若x1kxk10，可得bk0，ak0，所以有akbk，则A，B是相同的数列，不符合要求同理可证 a10，b10时，A，B是相同的数列，不符合要求综上，有nn数表X（A，B）满足“xijxji”的充分必要条件为“ak+bk1（k1，2，n）”（）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，由此，A中0的个数为np，B中1的个数为np，B中0的个数为p若 ai1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b1，b2，bn，若 ai0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1b1，1b2，1bn，所以 数表X（A，B）中1的个数为所以 nn数表X（A，B）中1的个数不大于
