1、解三角形的实际应用举例高度、角度问题 (20分钟35分)1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(+1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m【解析】选C.如图,在ACD中,CAD=90-30=60,AD=60 m,所以CD=ADtan 60=60(m).在ABD中,BAD=90-75=15,所以BD=ADtan 15=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).2.一艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30方向上,之后它以每
2、小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8海里,则灯塔S在B处的()A.北偏东75B.南偏东15C.北偏东75或南偏东15D.以上方位都不对【解析】选C.根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32=16,BS=8,A=30.在ABS中,由正弦定理得=,sin S=,所以S=45或135,所以B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或南偏东15.3.如图,在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动,开始时物体位于P点,1分钟后,其位置在Q点,且POQ=90,再过1分钟,该物体位于R点,且QOR=30,则tanOPQ的值为()A.B.C.D.3【
3、解析】选C.由题意知,PQ=QR,设其长为1,则PR=2.在OPR中由正弦定理得=.在OQR中,由正弦定理得=,则tanOPQ=.4.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是()A.100 mB.400 mC.200 mD.500 m【解析】选D.设AB=x,在RtABC中,ACB=45,所以BC=AB=x;在RtABD中,ADB=30,所以BD=x.在BCD中,BCD=120,CD=500 m,由余弦定理得(x)2=x2+500
4、2-2500xcos 120,解得x=500 m.5.如图所示,为测量一水塔AB的高度,在C处测得塔顶的仰角为75,后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30,则水塔的高度为米.【解析】在ADC中,DAC=75-30=45.由正弦定理得AC=10,所以AB=ACsin 75=10=5(+1)(米).答案:5(+1)6.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin 的值.【解析】(1)依题意,BAC=120,AB=12
5、,AC=102=20,BCA=,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos BAC=122+202-21220cos 120=784,解得BC=28,所以渔船甲的速度为=14海里/小时.(2)在ABC中,因为BAC=120,AB=12,BC=28,BCA=,由正弦定理得=,即sin =,所以sin 的值为. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为()A.200 mB.300 mC.400 mD.100 m【解析】选
6、B.如图所示,BED,BDC为等腰三角形,BD=ED=600,BC=DC=200.在BCD中,由余弦定理可得cos 2=,所以2=30,4=60.在RtABC中,AB=BCsin 4=200=300(m).2.当太阳光与水平面的倾斜角为60时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置(090),要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角是()A.15B.30C.45D.60【解析】选B.设影子长为x m,竹竿与地面所成的角为.由正弦定理得=,得x=sin(120-).因为30120-120,所以当120-=90,即=30时,x有最大值.即竹竿与地面所成的角是30时,影子最长.3.一艘游轮航行到A处时看灯塔
7、B在A的北偏东75,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30,距离为12海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向,则此时灯塔C位于游轮的()A.正西方向B.南偏西75方向C.南偏西60方向D.南偏西45方向【解题指南】利用方位角求出B的大小,利用正弦定理直接求解AD的距离,直接利用余弦定理求出CD的距离,然后求解CDA即可.【解析】选C.如图,在ABD中,因为在A处看灯塔B在游轮的北偏东75的方向上,距离为12海里,AB=12.灯塔C在A的北偏西30,距离为12海里,AC=12,游轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60方向上,所以B=180-75-60=
8、45,由正弦定理 =,所以AD=24海里;在ACD中,AD=24,AC=12 ,CAD=30,由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(12)2-22412 =144,所以CD=12海里;cos CDA=.CDA=60,此时灯塔C位于游轮的南偏西60方向.4.(2020珠海高一检测)如图,A,B两船相距10海里,B船在A船南偏西45方向上,B船向正南方向行驶,A船以B船速度的倍追赶B船,A船若用最短的时间追上B船,A船行驶的角度为()A.南偏西30B.南偏西15C.南偏东30D.南偏东15【解析】选B.由题意,设B船的速度为v,A船用最短的时间t在C处追上B船,可
9、得ABC中,AB=10,ABC=135,BC=tv,AC=tv,由余弦定理可得:(tv)2=(tv)2+102-210tvcos 135,整理可得:(tv)2-10tv-100=0,解得tv=5+5,可得BC=5+5,AC=10+10,所以cosBAC=,所以BAC=30,可得A船行驶的角度为南偏西45-30=15.5.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.
10、图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.5,夏至正午太阳高度角(即ADC)为73.5,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为()A.B.C.D.【解析】选D.由题可知:BAD=73.5-26.5=47,在BAD中,由正弦定理可知:=,即=,则AD=,又在ACD中,=sinADC=sin 73.5,所以AC=,故选:D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离,他站在地面C处,利用皮尺测得BC=9米,利用测角仪器测得仰角ACB=45,测得视角A
11、CD后通过计算得到sinACD=,则AD的高度为.【解析】设AD=x,则BD=9-x,CD=,在ACD中,由正弦定理得=,即=,所以292+(9-x)2=26x2.整理得2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,所以x=3(负值已舍去).答案:3米【补偿训练】如图,要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分),可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量.已知AB=20米,且测出CAD=,ACB=,则灯塔CD的高度为.【解析】在RtABC中,AC=20(米).在ACD中,由正弦定理可知=,从而CD=.又ADC=-CAD-ACD=-=,sin ADC=sin=sin=,所以CD=20(3-)(米).
12、答案:20(3-)米7.如图所示,在山脚A测得山顶P的仰角为QAP=45,沿倾斜角为QAB=15的斜坡向上走146.4米到达B,在B测得山顶P的仰角为CBP=60,则山高PQ=(精确到0.1).【解题指南】在PAB中,可求得PAB=30,APB=15,AB=146.4,ABP=135,再利用正弦定理求得AP,从而可得山高PQ的长.【解析】PAB=PAQ-BAQ=45-15=30,APB=QPA-BPC=45-(90-60)=15.ABP=180-(PAB+APB)=135,在PAB中,由正弦定理得=,即AP=,PQ=APsinPAQ=282.8(米).答案:282.8米8.如图,为测量山高MN
13、,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.【解析】根据题意知,AC=100.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得=AM=100.在AMN中,=sin 60,所以MN=100=150(m).答案:150三、解答题(每小题10分,共20分)9.要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得M山顶的俯角为30,经过40 s(已飞过M点)后又测得M
14、山顶的俯角为45,求山顶的海拔高度.(精确到1 m)(可能要用到的数据:1.414,1.732,2.449)【解析】900 km/h=250 m/s,AB=25040=10 000(m),在ABM中,由正弦定理得=,BM=.作MDAB于点D,则MD=BM sin 45=sin 45= =5 000(-1)3 660(m),M的海拔高度为10 000-3 660=6 340(m).答:M的海拔高度为6 340 m.10.如图所示,某海滨城市位于海岸A处,在城市A的南偏西20方向有一个海面观测站B,现测得与B处相距31海里的C处,有一艘豪华游轮正沿北偏西40方向,以40海里/小时的速度向城市A直线
15、航行,30分钟后到达D处,此时测得B,D间的距离为21海里.(1)求sin BDC的值;(2)试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A?【解析】(1)由已知,CD=40=20(海里).在BCD中,根据余弦定理有cos BDC=-,所以sin BDC=.(2)由已知可得,BAD=20+40=60,所以sin ABD=sin(BDC-60)=-=.在ABD中,根据正弦定理有=,又BD=21,则AD=15(海里).所以t=60=22.5(分钟).【补偿训练】如图,正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙,同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号,此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方
16、向距渔政船甲70 km的C处,渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处,两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援,渔政船乙仍留在B处执行任务,渔政船甲航行30 km到达D处时,收到新的指令另有重要任务必须执行,于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙),此时B,D两处相距42 km,问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.【解析】设ABD=,在ABD中,AD=30,BD=42,BAD=60.由正弦定理得=,sin =sin BAD=sin 60=,又因为ADBD,所以060,cos =,cos BDC=cos (60+)=-.在BDC中,由余弦定理得BC2=DC2+BD2-2DCBDcos BDC=402+422-24042cos (60+)=3 844,BC=62 km,即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.
