1、第三章 圆锥曲线的方程 单元综合测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】C【解析】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为.故选：C2双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线C上且，则等于（）A14B26C14或26D16或24【答案】C【解析】由双曲线的方程可得，故.因为，故，解得或26.故选:C.3方程表示椭圆，则的取值范围是（）AB或CD【答案】B【解析】因为方程表示椭圆，所以，解得且，则的取值范围是或.故选：B.4已知矩形
2、ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD【答案】B【解析】由椭圆的方程可得当时，所以，因为，所以，所以，所以，解得或（舍）故选：B5已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，则直线的斜率为（）ABCD【答案】D【解析】由题可得，设，因为，解得，所以，即，所以直线的斜率为.故选：D.6在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（）A6B8C9D12【答案】D【解析】由题意得：F为ABC的重心故设点A，B，C的坐标分别为，抛物线 ，F为其焦点故选：D7设点P为椭圆上一点，分别为
3、C的左、右焦点，且，则的面积为（）ABCD【答案】C【解析】设，根据椭圆的定义以及余弦定理得，整理得，即，所以的面积为.故选：C8已知是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且，l交T于点M，交于点Q，若，则双曲线T的离心率e的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】不妨设的方程为，设的方程为，因为，所以直线l的方程为：，由，即，由，即，因为，所以由，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）AC的方程为BC的离心率为C直线与C只
4、有一个公共点D直线与C有两个公共点【答案】AC【解析】渐近线，设双曲线的方程为，代入得，所以双曲线的方程为，A选项正确.，离心率，B选项错误.直线与双曲线的渐近线平行，所以与双曲线只有一个公共点，C选项正确.，消去并化简得，所以，即直线与C只有一个公共点, D选项错误.故选：AC10已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A该椭圆的长轴长为B使为直角三角形的点共有6个C若点的纵坐标为1，则的长度为D若点是异于，的点，则直线与的斜率之积为2【答案】BCD【解析】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.故选项A不正确.B.当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个
5、；轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；又因为，满足为直角三角形，此时点可以为左右顶点.所以使为直角三角形的点共有6个. 故选项B正确.C.若点的纵坐标为1, 则，则的长度为.故选项C正确.D.设点，则，则直线与的斜率之积.故选项D正确.故选：BCD11如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为设与轴的交点为，为抛物线上异于的任意一点，在上的射影为，的外角平分线交轴于点，过作交于，过作交线段的延长线于，则（）ABCD【答案】ABD【解析】对A，由抛物线的定义可知，故A正确；对B，因为是的外角平分线，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；对C，若，则有，从而有，所以，此时为定点，与为抛物
6、线上异于的任意一点矛盾，故C不正确；对D，因为四边形是矩形，所以，又，所以，故D正确故选：ABD12已知，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）AB若，则C若，则D若，则的取值范围是【答案】BCD【解析】因为，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，可设，所以，.对于A：因为，所以.故A错误；对于B：由椭圆的定义可知：；由双曲线的定义可知：.联立解得：，.由余弦定理可得：.因为，所以，整理化简得：.因为，所以，即.因为，所以.代入可得：，整理得：.故B正确；对于C：因为，所以.由等腰三角形
7、的性质可得：，.因为，所以，即为直角三角形.所以，即，整理得：.所以.故C正确；对于D：因为，所以.令，则.因为，所以.又解得：；由解得：.所以.由对勾函数的性质可得：在上单调递增，所以，所以.故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为_【答案】【解析】如图，因为，所以设，得，由，得所以，则，由，得，又 ，所以，故的面形.故答案为：14设点P是曲线上的动点，点，满足|PF|+|PA|4，则点P的坐标为 _【答案】【解析】因曲线是双曲线y2x21在x轴上方的部分，故是双
8、曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由|PF|+|PA|4，又，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得：，故点P的坐标为故答案为：15如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为_米.【答案】【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（6，-3）代入，得，代入B得，故水面宽为米，故答案为：16已知椭圆，圆，椭圆的左，右焦点分别为，直线交椭圆于点，交圆于、两点若，则_【答案】【解析】由题意可知，由椭圆的定义知， 如图所示在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得，因为，所以，联立，得，即，于是有，所以，由圆，得圆的半径为，因为两点在圆上，所以,
9、所以,又因为，所以，即，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10分）求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为，且经过点的椭圆标准方程；(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，又椭圆过点，又，所以椭圆的标准方程为.（2）方法一：(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以 ，设该双曲线的焦距为，又因为焦距 所以，所以，联立 解得则双曲线方程为，(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以 ，设该双曲线的焦
10、距为，又因为焦距 所以，所以，联立 解得则双曲线方程为，双曲线的标准方程为：或方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）焦距为，双曲线的标准方程为：或18（12分）已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2(1)求抛物线C的方程和点坐标；(2)过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长【解析】（1）由可得：p2，故抛物线方程为：，当y1时，又因为x0，所以x2，所以点坐标为（2，1）；（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，由，得，所以，因为的角平分线与y轴垂直，所以，所以，即，即，所以，所以.19（12分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长
11、与短轴长的比是.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）设，则，即，因为的对称轴为，所以在为减函数，所以当时，的最大值为的最大值为.20（12分）已知双曲线C：（，），第一象限内的点P在C上，双曲线的左、右焦点分别记为，且，O为坐标原点(1)求双曲线C的离心率；(2)若的面积为2，求点P的坐标【解析】（1），化为：，即双曲线C的离心率为（2）由题意可得：，又，解得，所以，双曲线方程为，把代入双曲线方程，得：，解得21（12分）已知椭圆的离心率为，且过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率
12、之和为0，求直线l的斜率【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设直线，联立方程，整理得，即，即，即，整理得，所以或，若，则直线过点，不合题意，所以直线的斜率为22（12分）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【解析】（1）由已知，所以，解得，椭圆方程为；（2）设，则，所以，,直线方程为，代入椭圆方程得，显然是此方程的一个解，另一解为，而，即为点的横纵坐标，,所以所以为定值
