1、2014-2015学年度高三第一学期期中考联考数学试题（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知， ，则下列结论中正确的是A. B. C. D.2若直线与直线平行，则 A. B. C. 或 D. 开始S1，T1，n2T2n TS?是否nn1Sn2结束(第6题)输出n3已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为A. B. 4 C. D. 64曲线与曲线的A.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等5下列命题中，错误的是A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行
2、于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为 A5B6C7D87“”是“复数与的积是纯虚数”的（ ）条件.A充分必要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要8定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为. A. B. C. D. 二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为的等腰三角形,则该三棱锥的体积为_.10已知数列满足,且
3、,则 .11在ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若， ，则角12. _.13.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是_.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）第15题14(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，曲线和相交于点，则 .15(几何证明选讲选做题) 如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB2，BC，则O的半径等于_三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值。17. （本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来
4、一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数的分布列及数学期望E.18. （本小题满分14分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求证：点M为BC的中点；（2）求点B到平面AMC1的距离；（3）求二面角MAC1C的大小.19（本小题满分14分）已知椭圆：()的离心率为，右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设点为坐标原点，过点作直线与椭圆E交于两点，若，求直线的方程20（本小题满分14分
5、）设数列的前项和为，已知(nN*).（1）求的值，并证明数列是等差数列； （2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意nN*且n 2，都有成立，求的最大值；21（本小题满分14分）已知函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点(1) 求实数a的值；(2) 若x1 ，x2是区间2，3 内任意两个不同的数，求证：(3) 若对于任意x1 ，x2，3 ，不等式1恒成立，求实数k的取值范围揭阳一中20142015学年度年高三上学期期中考试数学试题(理科)参考答案及评分说明所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.6分（）解：由（1）可知又因为，所以7分由，得8分从而9分所以12分17解：解
6、：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么w_w w. k#s5_u.c o*mP(A)=P(B)=P(C)=2分P()=P(A)P()P()=5分答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为6分（2）的可能值为0,1,2,37分P(=k)=(k=0,1,2,3)9分所以中奖人数的分布列为w_w w. k#s5_u.c0123P 10分E=0+1+2+3=12分18（1）证明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，有CC1底面ABC，面ABC1分又AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC1且AM=MC1，面2分面，3分底面ABC是边长为1的正三角形，点M为BC中点.4分为点B到平面AM
7、C1的距离.6分 AM=C1M=在RtCC1M中，可得7分BHMC1CM., 9分解法（二）设点B到平面AMC1的距离为h.则5分由（I）知 AMC1M，AMCB，AM平面C1CBB16分AB=1，BM=7分8分 得 9分（3）（解法一） 过M作于H，作于G，连结GH.，又又因为，且面MHG,故为二面角的平面角11分由（1）知在等腰直角三角形中，13分因为二面角为锐二面角，故所以二面角的大小为.14分（解法二）过M作交于.以M为坐标原点，分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系.10分设面的一个法向量为由得，取，则11分同理可求得面的一个法向量为12分设二面角的大小为，由图知为锐角故13分故二
8、面角的大小为14分19解：（1）依题意可得2分解得椭圆E的标准方程为4分（2）设，当垂直于轴时，的方程为，不符题意5分当不垂直于轴时，设的方程为6分由得：，8分所以，10分于是： 因为，所以，所以，所以，13分所以，直线的方程为：14分 20. 解（1）由可得1分由，得(n2)2分两式相减，得，即(n2) ，于是4分所以数列是以首项为2，公差为1的等差数列.5分（2）所以，故.6分因为，8分则. 令，则10分所以 . 即，所以数列为递增数列. 12分 所以当n 2时，的最小值为. 据题意，即.又为整数，故的最大值为18. 14分 21解：（1）由1分知当时；当时；在上为增函数，在上为减函数为函数的极大值点2分又函数f（x）=x2+2lnx与g(x)=x+有相同极值点， 是函数的极值点， ，解得3分经检验，当时，函数取到极小值，符合题意4分（2）由（1）知函数在2，3 上单调递减，不妨设，令6分则，因为在上单调递减，且当时，所以函数在2，3 上单调递增，所以问题得证。8分（3）， ， 即 ，9分由（1）知， .当时，；当时， 故在为减函数，在上为增函数，而 , ，10分当，即时，对于，不等式恒成立， ，又 ，12分当，即时，对于，不等式 ，又，综上，所求的实数的取值范围为14分
