1、第一章 集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解命题的概念；2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。2016，北京卷，4,5 分(充要条件的判断)2016，天津卷，5,5 分(充要条件的判断)2014，全国卷，9,5 分(逻辑推理判断)1.分析四种命题的相互关系；由原命题写另一种命题；2.判定指定条件之间的关系；探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；与命题真假性结合。微知
2、识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1命题(1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做_，判断为假的语句叫做_。(2)四种命题及相互关系判断真假真命题假命题(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的_条件，q是p的_条件p是q的_条件pq且q pp是q的_条件P q且qpp是q的_条件pqp是q的_条件P q且q p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要微点提醒1“否命题”与“命题的否定”是两个
3、不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。2由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。3“p 是 q 的充分不必要条件”即为“pq 且 qp”；“p 的充分不必要条件是 q”即为“qp 且 pq”。【解析】因为(x1)(y2)0，所以 x1 或 y2，所以(x1)(y2)0 x1 且 y2，x1 且 y2(x1)(y2)0，所以是必要不充分条件。【答案】必要不充分小|题|快|练一、走进教材1(选修 11P10 练习 T3(2)改编)“(x1)(y2)0”是“x1 且 y2”的_条件。【解析
4、】“a，b 都是偶数”的否定为“a，b 不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数”。【答案】若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数2(选修 11P8 习题 1.1A 组 T2(1)改编)“若 a，b 都是偶数，则 ab必是偶数”的逆否命题为_。【解析】由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件。故选 C。【答案】C 二、双基查验 1(2016天津高考)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必
5、要条件【解析】以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 4，则 tan1”的逆否命题是“若 tan1，则4”。故选 C。【答案】C2命题“若 4，则 tan1”的逆否命题是()A若 4，则 tan1 B若 4，则 tan1C若 tan1，则 4D若 tan1，则 4【解析】由 AB，得 ABA；反过来，由 ABA，且(AB)B，得 AB，因此，“AB”是“ABA”成立的充要条件。故选C。【答案】C 3设集合A，B，则“AB”是“ABA”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】原命题的条件：在ABC 中，C90。结论：A，B
6、 都是锐角。否命题是否定条件和结论。即“在ABC 中，若C90，则A，B 不都是锐角”。【答案】在ABC 中，若C90，则A，B 不都是锐角 4“在ABC中，若C90，则A，B都是锐角”的否命题为：_。【解析】由 x21 得 x1 或 x1。由题意知x|x1 或 x1”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一四种命题及其相互关系【典例 1】(1)命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是()A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶
7、数D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数(2)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假D假，假，假【解析】(1)由于“x，y 都是偶数”的否定是“x，y 不都是偶数”，“xy 是偶数”的否定是“xy 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若 xy 不是偶数，则 x，y 不都是偶数”。故选 C。(2)先证原命题为真：当 z1，z2 互为共轭复数时，设 z1abi(a，bR)，则 z2abi，则|z1|z2|a2b2，原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取 z
8、11，z2i，满足|z1|z2|，但是 z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假。故选 B。【答案】(1)C(2)B反思归纳 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。【变式训练】(1)命题“若 3，则 cos12”的逆命题是()A若 3，则 cos12B若 3，则 co
9、s12C若 cos12，则 3D若 cos12，则 3(2)已知命题：如果 x3，那么 x20 x0，且x|1x0可知：由 p 能推出 q，但由 q 不能得出 p，所以 p 是 q 成立的充分不必要条件。故选 A。【答案】A角度二：用集合法判断充分条件、必要条件【典例 3】设 p：1x1，则 p 是 q 成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例 4】(2017锦州模拟)给定两个命题 p，q。若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必
10、要条件【解析】因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q綈 p 但綈 pq，其逆否命题为 p綈 q 但綈 qp，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件。故选 A。【答案】A反思归纳 充要条件的三种判断方法 1.定义法：根据 pq,qp 进行判断。2.集合法：根据 p,q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1 或 y1”的何种条件，即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围母题发散【典例
11、 5】(1)(2016南昌模拟)已知条件 p：|x4|6；条件 q：(x1)2m20(m0)，若p 是q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是()A21，)B9，)C19，)D(0，)(2)已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m。若 xP 是 xS 的必要条件，则 m 的取值范围为_。【解析】(1)条件 p：2x10，条件 q：1mxm1，又因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以有1m2，1m10。解得 m9。故选 B。(2)由 x28x200 得2x10，Px|2x10，由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP。则1m1m，1m2，1m10，0m3。所以当 0m3 时，x
12、P 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0,3。【答案】(1)B(2)0,3【解析】若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS，1m2，1m10，m3，m9，即不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件。【答案】不存在【母题变式】1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 xP是 xS 的充要条件。【解析】由例题知 Px|2x10，綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，PS 且 SP。2,10 1m,1m。1m2，1m10或1m2，1m10。m9，即 m 的取值范围是9，)。【答案】9，)2本典例(2)条件不变，若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，求实数 m的取值范围。反思归
13、纳由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”的逆否命题是“若 b2ac，则 a，b，c 不成等比数列”。故选 D。答案 D1命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”的逆否命题是()A“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”B“若 a，b，c 不成等比数列，则 b2ac”C“若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列”
14、D“若 b2ac，则 a，b，c 不成等比数列”2已知向量 a(sin，cos)，b(cos，sin)，且 a 与 b 的夹角为，则“|ab|1”是“60”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 由条件可知|a|b|1，若|ab|1，则(ab)21，即 a2b22a b1，所以 112cos1，即 cos12，故 60。同理，若60，则|ab|1 也成立。故“|ab|1”是“60”的充分必要条件。故选 C。答案 C解析 解法一：m，n 为正实数是此题的大前提条件，所以可得 m2 1m2n2 1n2m2n21m2 1n2 0(mn)(mn)1 1m2n2
15、0mn，故“mn”是“m2 1m2n2 1n2”成立的充要条件。故选 C。3设 m，n 为正实数，则“mn”是“m2 1m20)，易知 f(x)x21x2(x0)是单调递增函数，任取 m，n0，当 mn 时，f(m)f(n)，即 m2 1m2n2 1n2；反之，当 f(m)f(n)时，易得 mn。故“mn”是“m2 1m20 时，1a1b1a ab1b abba，所以四种命题都是正确的。当 abb，则必有 a0b，故1a01b，所以原命题是假命题；若1a1b，则必有1a01b，故 a0b，所以其逆命题也是假命题；由命题的等价性可知，四种命题都是假命题。从而本题应填ab0。答案 abb，则1a0 x|xm1，又x|x22x30 x|x3，1m1，m13，或1m1，m13，0m2。答案 0,25若 xm1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_。
