1、四川省绵阳南山中学实验学校2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题 理（含解析）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第卷（
2、选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值对四个选项逐一进行排除，从而得到正确选项.【详解】对于A选项，当时，不成立，故A选项错误.当时，故B选项错误. 当时，故C选项错误，故选项正确.所以选D.【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，由于题目是选择题，故采用特殊值举反例的方法，对选项进行排除.属于基础题.不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变.两边同时乘以零，那么两边都变为令.两边同时乘以负数，
3、不等号要改变方向.同向不等式可以相加，不能相减.2.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为故选B考点：求不等式组表示的平面区域的面积3.数列满足且，则此数列第5项是（ ）A. 15B. 255C. 16D. 63【答案】B【解析】【分析】由递推公式可推出为等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】，是以1为首项，4为公比的等比数列，则，故选：B【点睛】本题考查数列递推公式，等比数列的通项公式，属
4、于基础题.4.等比数列中，则= （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本试题主要考查了等比数列的通项公式的运用因为等比数列中等比中项性质可知，故选C.解决该试题的关键是根据等比中项，得到结论5.已知：在ABC中，则此三角形为（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理把边换成角得到，进而利用三角函数的差角公式求解即可【详解】对于，等式左边的分子分母同时除以，利用正弦定理可得，得到，A，B，C均在ABC中，故得到，此三角形为等腰三角形.答案选C.【点睛】本题考查正弦定理和三角函数差角公式的运用，属于简单题.6.如果
5、一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A【解析】试题分析：设这个数列有n项，则，因此即，则，故；考点：1等差数列的性质，2等差数列的前n项和公式；7.的内角的对边分别为，若的面积为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理8.ABC中，已知下列条件：b3，c4，B30；a5，b8，A30；c6，b3，B60；c9，b12，C60其中满足上述条件
6、的三角形有两解的是 ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】中，可得，故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确，可得，故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确，可得，则，三角形有唯一的解，故错误，可得，则不存在，三角形无解，故错误故选9.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙每天原料的可用总量A(吨)3212B(吨)128A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元【答
7、案】D【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为吨、吨由已知可得目标函数，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， 可得目标函数在点处取得最大值，由得，则（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.不等式对于一切恒成立，取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分类讨论不等
8、式恒成立条件.【详解】当即时，成立；当时，根据题意可得，综上所述，.故选：B【点睛】本题考查由不等式恒成立求参数范围，涉及一元二次函数的图象与性质，属于基础题.11.在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A. 200mB. 300mC. 400mD. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解【详解】解：依题意可知，所以该山峰的高度故选B【点睛】本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题1
9、2.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得： ，为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，则的取值范围是，故选A.第卷（非选择题，共52分）二.填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案直接填在答题卡中的横线上.13.已知等比数列中，为的两个根，则_.【答案】64【解析】【分析】根据韦达定理可求得，由等比数列的性质即可求出，再次利用等比数列的性质即可得解.【详解】因为为的两个根且为等比数列，所以，又，所以，则.故答案为：64【点睛】本题考查等比数列的性质，韦达定理，属于基础题.14.在，三个内角所对的边分别为，若内
10、角依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及三角形内角和为列出方程组即可求出角B，求不等式的解集从而得到a，c的值，再利用余弦定理列出等式即可得解.【详解】由题意可得，解不等式得，因为不等式的解集为，所以，由余弦定理得即，解得.故答案：【点睛】本题考查等差数列的性质，一元二次不等式的解法，余弦定理解三角形，属于中档题.15.在中，面积为，则_【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定
11、理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_【答案】9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案【详解】由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9故答案为9点评：本题考查了一元二次
12、方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q三.解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，点在边上，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，由正弦定理知， ,，于是，
13、即，因为，所以 （2）由（1）和余弦定理知，所以 在中，所以， 18.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润【答案】（1）；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大
14、，且最大利润为1800万元【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.（2）根据第一问利润函数，分和两种情况进行分类讨论，当时，用二次函数法求最值，当时，用基本不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时x的取值为最大利润时的产量.【详解】（1）当时，；当时，；（2）当时，当时，；当时，当且仅当，即时，；当时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于难题.19.已知等差数列中，公差，且，成等比数列求数列的通项公式；若为数列的
15、前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以 .因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.20.已知二次函数满足以下两个条件：不等式的解集是函数在上的最小值是3.（）求的解析式；（）若点在函数的图象上，且.（）求证：数列为等比数列（）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？
16、若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）（）证明过程见解析；（）【解析】【分析】（）根据不等式的解集可知函数与x轴的交点横坐标为，0且开口向上，根据对称轴判断函数在上的最小值列出等式求解即可；（）（）点代入函数并整理得，同时取对数即可得证；（）求出的通项公式代入不等式可得对于一切的恒成立，利用二次函数的图象与性质求出的最大值即可得解.【详解】（）因为不等式的解集是，所以设，且函数的对称轴为：，因为在上单调递增，所以最小值为，解得，函数解析式为；（）（）证明：因为点在函数的图象上，所以，则，因为，所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列；（），要使不等式对于一切的恒成立，则对于一切恒成立，所以对于一切的恒成立，令，令，则，()， 所以当时， 不等式对于一切的恒成立.【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，数列递推公式，数列与不等式恒成立综合问题，属于中档题.
