1、2021年上海市静安区高三高考数学二模试卷一、填空题（共8小题）.1（x2+）8的展开式中x4项的系数是 2设变量x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为 3已知奇函数yf（x）的周期为2，且当x（0，1）时，f（x）log2x则f（7.5）的值为 4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 5投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为 6某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 米7如图，
2、在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为 8已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（nN*）中的水比桶Bn（nN*）中的水多 升二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）9函数yx2（x0）的反函数为（）Ay（x0）By（x0）Cy（x0）Dy（x0）10某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示年薪（万元）13595
3、807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）A24.5（万元）B25.5（万元）C26.5（万元）D27.5（万元）11在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）A204B260C384D480三、解答题（本大题共有5题，共84分)12已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将RtBED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足ABAC（1）求四面体ABCD的体积V；（2）请计算：直线BC与AD所
4、成角的大小；直线BC与平面ACD所成的角的大小13设f（x）（常数aR），且已知x3是方程f（x）x+120的根（1）求函数yf（x）的值域；（2）设常数kR，解关于x的不等式：（2x）f（x）（k+1）xk14（16分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点F、O，并且与抛物线y28x的准线相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围15（18分）将正奇数1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍设aij
5、（i，jN*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数（1）设bnan1（nN*），求数列bn的通项公式；（2）若amn2021，求m、n的值；（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，求极限的值16（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角至点P（x，y）（1）试证明点的旋转坐标公式：（2）设（0，2），点P（0，1）绕坐标原点O旋转角至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角至点P2，且直线P1P2的斜率k1，求角的值；（3）试证明方程x2+xy6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标参考答案一、填空题（共8小题）.1
6、（x2+）8的展开式中x4项的系数是70解：由，令163r0，得r4展开式中含x4项的系数为故答案为：702设变量x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为3解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，2），由zx+y，得yx+z，由图可知，当直线yx+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故答案为：33已知奇函数yf（x）的周期为2，且当x（0，1）时，f（x）log2x则f（7.5）的值为1解：奇函数yf（x）的周期为2，且当x（0，1）时，f（x）log2xf（7.5）f（1.5）f（0.5）f（0.5）log21，故答案为：14一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面
7、积为（3+）解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；如图所示：故圆锥的母线长x，圆锥的底面周长为2，所以圆锥的侧面积S，圆柱的表面积S211+123，故几何体的表面积为故答案为：5投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为解：复数，故复数为虚数需满足n2m20，即mn，故有66630种情况，复数为虚数的概率为：故答案为：6某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为5米解：
8、设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W（h），则由题意可得，W（h）2a（xh+yh）+2axy2ah（x+y）+2axy40ah+2a，W（h）400a，当且仅当h5时，W（h）取最小值，即h5时，W（h）取最小值，故答案为：57如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为5解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba）则（2，b），（1，ab），+3（5，3a4b）|+3|5，|+3|的最
9、小值为5故答案为：58已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（nN*）中的水比桶Bn（nN*）中的水多升解：根据题意可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，故答案为：二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）9函数yx2（x0）的反函数为（）Ay（x0）By（x0）Cy（x0）Dy（x0）解：由yx2（x0），解得（y0），将x与y互换可得：（x0）故选：B10某高科技公司所有
10、雇员的工资情况如表所示年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）A24.5（万元）B25.5（万元）C26.5（万元）D27.5（万元）解：年薪的平均数为（135+95+802+70+603+524+40+3112）50.4万元，所以该公司雇员年薪的方差约为（13550.4）2+（9550.4）2+2（8050.4）2+（7050.4）2+3（6050.4）2+4（5250.4）2+（4050.4）2+12（3150.4）2650.25，所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）故选：B11在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一
11、个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）A204B260C384D480解：两个数字之和等于5的情形只有两种：2+31+45下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有种方法，若2，3都选取，则有种方法由乘法原理可得：（+）方法同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有（+）方法利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2（+）384种方法故选：C三、解答题（本大题共有5题，共84分)12已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将RtB
12、ED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足ABAC（1）求四面体ABCD的体积V；（2）请计算：直线BC与AD所成角的大小；直线BC与平面ACD所成的角的大小解：（1）由已知可得，AOCO1，ABAC，所以AO2+CO2AC2，故COAO，又COBD，BDAOO，AB，AO平面ABD，所以CO平面ABD，故CO是三棱锥CABD的高，所以三棱锥CABD的体积；（2）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，1，0），故，所以线BC与AD所成角的大小为60；设平面ACD的法向量为，则有，即，令x1，则y
13、1，z1，故，所以，故直线BC与平面ACD所成的角的大小为13设f（x）（常数aR），且已知x3是方程f（x）x+120的根（1）求函数yf（x）的值域；（2）设常数kR，解关于x的不等式：（2x）f（x）（k+1）xk解：（1）由题意得f（3）3+120，故，解得a2，f（x），令t2x，当t0时，t+40，当t0时，t+4（t）+（）48，则t+4（，80，+），故函数的值域（，80，+）；（2）：因为（2x）f（x）（k+1）xk，整理得x2（k+1）x+k0，（x2），即（x1）（xk）0，当k1时，不等式的解集（k，1）；当k1时，不等式的解集；当1k2时，不等式的解集（1，k）；当
14、k2时，不等式的解集（1，2）（2，k）14（16分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点F、O，并且与抛物线y28x的准线相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围解：（1）抛物线y28x的准线为x2，圆过点F，O，圆心M在直线x上，设M（，t），则圆的半径为r|（）（2）|，由|OM|r，得，解得t，所求圆的方程为（2）设直线AB的方程为yk（x+1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，x1+x2，y1+y2k（x1+x2）+
15、2k，线段AB的中点坐标为（，），线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y（x+）+，令y0，则xk+，k0，x0，故点G的横坐标的取值范围为（，0）15（18分）将正奇数1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍设aij（i，jN*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数（1）设bnan1（nN*），求数列bn的通项公式；（2）若amn2021，求m、n的值；（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，求极限的值解：（1）由已知，这个数阵的第n行有2n1个数，前
16、n1行一共有个数，；（2）令2m12021，满足不等式的最大整数为10，即m10，2101+2（n1）2021，解得n500，m10，n500；（3）由题意，34n12n，由（1）知，1+2+22+2n22n11，16（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角至点P（x，y）（1）试证明点的旋转坐标公式：（2）设（0，2），点P（0，1）绕坐标原点O旋转角至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角至点P2，且直线P1P2的斜率k1，求角的值；（3）试证明方程x2+xy6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角至OP，OPr，由任意角
17、的三角函数的定义，可得和，所以，将代入，可得；（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由点的旋转坐标公式，可得和，由直线P1P2的斜率k1，可得1，即有sin2cos2sincos，所以sin（2）sin（），所以22k+，或2+2k+，kZ，所以2k或k+，kZ，因为（0，2），所以、（3）证明：设P（x，y）为方程x2+xy1的曲线上任意一点，将点P绕坐标原点O旋转至点P（x，y），则，可得，将代入方程，可得（xcos+ysin）2+（xcos+ysin）（xsin+ycos）6，整理可得（cos2sincos）x2+（sin2+sincos）y2+（sin2+cos2）xy6，令sin2+cos20，可得sin（2+）0，是该方程的解，所以将方程x2+xy6的曲线按顺时针旋转，所得曲线C的方程为1，可得曲线C是以F1（4，0），F2（4，0）为焦点的双曲线，又因为曲线C是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线也是双曲线将F1（4，0），F2（4，0）按逆时针旋转，得到F1（2，2），F2（2，2），所以，双曲线C的焦点坐标为F1（2，2），F2（2，2）
