1、课时跟踪检测(三)空间向量的数量积运算A级基础巩固1已知向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直若m8j3k,ni5j4k,则mn的值为()A7B20C28 D11解析:选C向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直,所以|i|j|k|1,且ijjkik0.因为m8j3k,ni5j4k,所以mn(8j3k)(i5j4k)401228.故选C.2已知空间向量abc0,|a|2,|b|3,|c|4,则cosa,b()A. B.C D.解析:选Dabc0,abc,(ab)2|a|2|b|22ab|c|2,ab,cosa,b.3.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB
2、,AD,CD的中点,则()A. B.C. D.解析:选B由题意得,所以11cos 60.故选B.4在四面体OABC中,OBOC,AOBAOC,则cos,()A. B.C D0解析:选Dcos,.因为|,AOCAOB,所以cos,0.5.如图,在大小为45的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A. B.C1 D.解析:选D因为,所以|2|2|2|2222111,所以| .故选D.6已知a,b是空间两个向量,若|a|2,|b|2,|ab|,则cosa,b_解析:将|ab|两边平方,得(ab)27.因为|a|2,|b|2,所以ab.又ab|a|b
3、|cosa,b,故cosa,b.答案:7已知空间向量a,b,|a|3,|b|4,mab,nab,a,b135,若mn,则_解析:由mn得(ab)(ab)0,即a2(1)abb20,所以18(1)34cos 135160,即460,解得.答案:8如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,设ADAA11,AB2,P是C1D1的中点,则与所成角的大小为_;_解析:法一:连接A1D,则PA1D就是与所成角连接PD,在PA1D中,易得PA1DA1PD,即PA1D为等边三角形,从而PA1D60,即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二:根据向量的线性运算可得()21.由题意可得PA1B1C,则co
4、s,1,从而,60.答案:6019.如图,正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC;(2)求|的值解:(1)证明:,()|cos 60|cos 120a2a20.BDPC.(2),|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2,|a.10如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长解:(1)证明:,.BB1平面ABC,0,0.又ABC为正三角形,.()()2|cos,2110,AB1BC1.(2)由(1)知|cos,221.又| |,cos,|2,即侧棱长为
5、2.B级综合运用11(多选)已知ABCDA1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是()A()23()2B.()0C向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|解析:选AB由向量的加法得到:,A1C23(A1B1)2,()23()2,A正确;,AB1A1C,0,故B正确;ACD1是等边三角形,AD1C60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的角为60,但是向量与向量的夹角是120,故C不正确;ABAA1,0,故|0,因此D不正确12.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60.若M是PC的中点,则
6、|()A. B.C. D.解析:选A记a,b,c,因为ABAD1,PA2,所以|a|b|1,|c|2.又因为ABAD,PABPAD60,所以ab0,acbc21cos 601.易得(abc),所以|2(abc)2a2b2c22(abacbc)1212222(011),所以|.故选A.13如图,在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB2,EF4,CACB3.若7,则与的夹角的余弦值等于_解析:由题意得29()2222942,所以2.由7,可得()()24()26()67.所以2,即43cos,2,所以cos,.答案:14如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形
7、,AA12,A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值解:(1)设a,b,c,则|a|b|1,|c|2,ab0,cacb21cos 1201.abc,|abc|.线段AC1的长为.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为,则cos |cos,|.abc,bc,(abc)(bc)abacb2c20112222,|.cos .异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.C级拓展探究15如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CBC1CDBCD.(1)求证:CC1BD;(2)当的值为多少时,能使A1C平面C1BD?请给出证明解:(1)证明:设a,b,c.依题意有|a|b|,ab.设,的两两夹角均为,于是c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0,CC1BD.(2)若A1C平面C1BD,则A1CBD,A1CDC1.由()()(abc)(ac)|a|2acabbcca|c|2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos (|a|c|)(|a|c|b|cos )0,得当|c|a|时,A1CDC1.同理可证,当|a|b|时,A1CBD.综上,当1时,A1C平面C1BD.